28等差数列_考点28等差数列

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第二十八讲 等差数列

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是()

A．S7C．S1

3B．S8 D．S1

5解析：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，1∴3a1＋18d＝p，解a7.313×(a1＋a13)13

∴S13＝13a7＝.23答案：C

2．等差数列{an}中，已知a1，a2＋a5＝4，an＝33，则n为()

3A．48B．49 C．50D．51

121

2解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1d＝an＝33＋(n－1)×n

3333＝50.故选C.答案：C

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为()A．2B．3 C．4D．5

解析：a5＝S5－S4≤5，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝5a3≤15，a3≤3，则a4大值为4.故选C.答案：C

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则()11

A.B.6335C.D.56

解析：∵{an}是等差数列，用心爱心专心

a3＋a5

2≤4，a4的最

a5

a3

a2＋a8

＝

S5

a5265

＝，故选D.a3a1＋a5(a1＋a5)×5S56

答案：D

5．(2011·济宁市模拟)已知数列{an}为等差数列，若－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为()

A．11B．19 C．20D．21 解析：∵

a11a10

a11

－1，且Sn有最大值，a10

∴a10>0，a11

∴S19a10>0，S2020(a1＋a20)

10(a10＋a11)

所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.答案：B

6．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：

2009精选考题2011A．1003B．1005 C．1006D．2011

解析：依题意得，数列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1为首项，1为公差的等差

数列，因此a精选考题＝a2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a2009＝503，a2011＝－503，a2009＋a精选考题＋a2011＝1005，选B.答案：B

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.解析：S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.答案：－7

28．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝________.＝61答案：79．设f(x)＝

12＋x

An7n＋45a6，则＝

Bnn＋3b6

anA2n－

1bnB2n－1

n项和的公式的方法，可求得f(－

5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

解析：∵f(x)＝

12＋1

∴f(1－x)＝

1－x

x

·2x

＋1

2＝，xx

2＋2·2＋2

1·2x

x

1＋

2＋2

·2x2

.2

2x

∴f(x)＋f(1－x)＝

2x＋2

＋

＋2x

＝

设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)，则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋ [f(－5)＋f(6)]＝62，∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝答案：32

10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．

Snn

解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a4－a2＝8，∴d＝4.又∵a3＋a5＝26，即2a1＋6d＝26，∴a1＝1.∴Sn＝n＋

n(n－1)

2n2－n，Sn1

则Tn2＝2－n

n

∵对一切正整数Tn≤M恒成立，∴M≥2.∴M的最小值为2.答案：2

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知：f(x)＝－

114＋2，数列{an}的前n项和为Sn，点Pnan，－在曲线y＝

x

an＋1

f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an>0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn列{bn}是等差数列．

解：(1)由y＝－点Pnan，－

4＋2

Tn＋1Tn

16n2－8n－3，问：当b1为何值时，数2＝2

anan＋1

x





an＋1

1在曲线y＝f(x)上，14＋2，∴－

an＋1

＝f(an)＝－

1＝

an

并且an>01

an＋1

142，an

an＋1an

an

－2＝4(n∈N*)．

数列2}是等差数列，首项21，公差d为4，a1

2＝1＋4(n－1)＝4n－3，a2n＝

an

.4n－3

∵an>0，∴an(2)由an＝

1n－3(n∈N*)．

Tn＋1Tn

＋16n2－8n－3得 2＝2

an＋1

4n－3an

(4n－3)Tn＋1＝(4n＋1)Tn＋(4n－3)(4n＋1)，Tn＋1Tn

＝＋1.4n＋14n－3

令cn，如果c1＝1，此时b1＝T1＝1，4n－3∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N，则Tn＝(4n－3)n＝4n2－3n，n∈N*，∴bn＝8n－7，n∈N，∴b1＝1时数列{bn}是等差数列．

12．数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，已知a3＝95.(1)求a1，a2；

(2)是否存在一个实数t，使得bn＝nan＋t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则

3求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)n＝2时，a2＝3a1＋32－1

*

*

Tn

n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，∴a2＝23.∴23＝3a1＋8，∴a1＝5.(2)当n≥2时，bn－bn－1nan＋t)－

131

(an－1＋t)3n－1

＝nan＋t－3an－1－3t)311＋2t＝nn－1－2t)＝1－n.33

1要使{bn}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t＝－，21

即存在t＝－{bn}为等差数列．

213．设f(x)＝

axx＋a

(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*.1

(1)证明数列是等差数列；

an

(2)求数列{an}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和．

分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求{bn}前n项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法．

解：(1)证明：ann＋1＝f(an)a·aa＝1

11，n＋aa＋an

∴

a＝11，即1na－11.＋1aan

n＋1ana

∴1a是首项为1，公差为1

n

a

(2)由(1)知1

a是等差数列，n

∴11a1＋(n－1)整理得aana－1)＋n

.na((3)baa11n＝an·an＋1(a－1)＋n·(a－1)＋n＋1＝a2n＋a－1n＋a.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Ta211n＝11

a1＋a＋1＋a2＋a

＋

…＋

1n＋a－11n＋a

＝a2112n＋a－anaan＋a＝aa(n＋a)n＋a∴数列{bn}的前n项和为na

n＋a.