5[1].2等比数列及其前n项和_等比数列前n项的和2

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5.2等比数列及其前n项和

一、选择题

1．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为()

A．11B．－21C．121D．－1

22a1q＝7，1＋q＋q2

解析：根据已知条件∴3.2qa＋aq＋aq＝21.11

11整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q2

答案：C

2．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是

()

A．30B．65C．67D．71

a1＝2，解析：设开始的细胞数和n小时后的细胞数构成的数列为{an}．则 an＋1＝2an－1，

即an＋1－1－－＝2.则{an－1}构成等比数列．∴an－1＝1·2n1，an＝2n1＋1，a7＝65.an－1

答案：B

3．在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100等于()

b9

A.abB．9ab10bC.D．()10 aab解析：令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，„，a99＋a100＝b10.它们构成以a为公比的等比数列．

b9b9

所以a99＋a100＝a(a＝a答案：A

4．等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项的和为()

22A．54B．64C．66D．3

32解析：因为(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，所以62＝54(S3n－60)，所以S3n＝60.3

答案：D

二、填空题

5．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.解析：an＝a1qn1＝a2qn2＝„＝amqn－－－m，∴a10＝a3q7，即384＝3q7，∴q7＝27，q＝2.an＝a3qn3＝3·2n3.－－

答案：3·2n3 －

6．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．(写出所有符合要求的组号)

①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和．

a解析：①∵a1＝S1，a2＝S2－S1，q确定，∴等比数列{an}确定．②由S3＝a1＋a2＋a3＝q

SS1＋a2＋a2q，q＋q＋1＝0，即q2＋(1－)q＋1＝0.不能唯一确定q，从而该数列不能a2a

2aa－唯一确定．③qn1＝n为奇数时，n－1为偶数，q不能唯一确定．④a1＝－a1q

定，即{an}唯一确定．

∴①④满足题意．

答案：①④

7．在数列{an}中，已知a1＝1，an＝2(an－1＋an－2＋„＋a2＋a1)(n≥2，n∈N*)，这个数列的通项公式是________．

解析：由已知n≥2时，an＝2Sn－1①

当n≥3时，an－1＝2Sn－2②

1n＝1，a①－②整理得3(n≥3)，∴an＝ n－2an－12×3n≥2.

1n＝1答案：an＝ n－22×3n≥2

三、解答题

118．Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，已知12和3的等差中项，6是2

32S2与3S3的等比中项．

(1)求S2和S3；(2)求此数列的通项公式；(3)求数列{Sn}的前n项和．

1122＋3S3＝2，3S2＋2S3＝12，解答：(1)根据已知条件整理得 (3S)(2S)＝36.23(2S2)(3S3)＝36.S2＝2，解得3S2＝2S3＝6，即 S3＝3.

a1(1＋q)＝2，1(2)∵q≠1，则可解得q＝－，a1＝4.22a1(1＋q＋q)＝3.

14[1－(－)n]2881∴Sn＝(n.13321＋

211(－)[1－(－n]2882881(3)由(2)得S1＋S2＋„＋Sn＝n－＝＋[1－(－)n]． 3313921－(－)29．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝

S证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.n

n＋2证明：(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝，所以(n＋2)·Sn＝n(Sn＋1－Sn)，nn

Sn＋1SS整理得n·Sn＋1＝2(n＋1)Sn，故.故是以2为公比的等比数列． nnn＋

1Sn＋1Sn－1Sn－1(2)由(1)知＝(n≥2)，于是Sn＋1＝4(n＋4an(n≥2)． n＋1n－1n－1

又当n＝1时，S2＝a1＋a2＝a1＋3S1＝1＋3＝4.所以S2＝4a1，即当n＝1时，结论也成立．因此对任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.10．已知数列{an}、{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝an·an＋1(n＝1,2,3，„)

(1)若{an}是等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn；

(2)当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列，你认为他们的说法是否正确？为什么？

解答：(1)∵{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a，∴a≠0，an＝an1.又bn＝an·an＋1，－n＋2·Sn(n＝1,2,3，„)，n

bn＋1an＋1·an＋2an＋2an

12∴b1＝a1·a2＝a，b＝a＝－＝a.an·an＋1ann＋

n(a＝1)，－n(a＝－1)，即{b}是以a为首项，a为公比的等比数列．∴S＝a(1－a)1－aa≠±1).n2n2n

(2)甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：

bn＋1an＋1an＋2an＋2设{bn}的公比为q，则b＝＝aq，且a≠0.anan＋1nn

又a1＝1，a2＝a，a1，a3，a5，„，a2n－1，„是以1为首项，q为公比的等比数列，a2，a4，a6，„，a2n，„是以a为首项，q为公比的等比数列，即{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，„

当q＝a2时，{an}是等比数列；当q≠a2时，{an}不是等比数列．

1．一正项等比数列前11项的几何平均数为25，从11项中抽去一项后所剩10项的几何平均数仍是25，那么抽去的这一项是()

A．第6项B．第7项C．第9项D．第11项

解析：根据已知条件11a1a2„a11＝25，即a1a2„a11＝255，即a1q5＝25，10a1a2„a112555－5n－1假设抽去第n项，则 ＝＝2，∴q5＝qn1.解得n＝6.－2，∴a1q2a1q

答案：A

2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn

(1)证明：当b＝2时，{an－n·2n1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式． －

解答：由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n1＝(b－1)Sn＋1，＋

两式相减得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，即an＋1＝ban＋2n.①

(1)证明：当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n，于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n1)，－

又a1－1·211＝1≠0，所以{an－n·2n1}是首项为1，公比为2的等比数列． －－

(2)当b＝2时，由(1)知an－n·2n1＝2n1，即an＝(n＋1)·2n1，当b≠2时，由①得，－－－

an＋1－bn1n＋11n＋11n2＝ban＋2n－·2＝ban－·2＝b(an－2)，2－b2－b2－b2－b

1n＋11n2(1－b)n因此an＋1－·2＝b(an2)＝·b，2－b2－b2－b

2n＝1，得an＝1 nn－1＋(2－2b)b]n≥2.2－b