第五章 第二节 等差数列及其前n项和 课下作业_等差数列前n项和说课

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第五章第二节 等差数列及其前n项和

1.设命题甲为“a，b，c成等差数列”，命题乙为“2”，那么()bb

A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的必要不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲是乙的既不充分也不必要条件

aca解析：由＋＝2，可得a＋c＝2b，但a、b、c均为零时，a、b、cbbbc2.b

答案：B

2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝a，证明：数列{bn}是等差数列； 2(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n得

a＋2a＋2nabn＋1＝＝1＝bn＋1.222

又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)由(1)知a－2n1.－n，即an＝n·2

－Sn＝1＋2×21＋3×22＋„＋n×2n1，两边乘以2得，2Sn＝2＋2×22＋„＋n×2n.两式相减得

Sn＝－1－21－22－„－2n1＋n·2n －

＝－(2n－1)＋n·2n

＝(n－1)2n＋1.3.(2009·福建高考)nn334，则公差d等于()

5A．1C．2D．3 3

解析：∵S3＝a1＋a3×3＝6，而a3＝4，∴a1＝0，2

a3－a1∴d＝2.2

答案：C

4．(2010·徐州模拟)观察下表：

234

34567

45678910

„„

则第__________行的各数之和等于2 0092.解析：设第n行的各数之和等于2 0092.则Sn＝(2n－1)·n＋2n－12n－2·1 2

＝(2n－1)2＝2 0092，∴2n－1＝2 009，n＝1 005.答案：1 005

5．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于________．

a2＝a1＋d＝6，a1＝3，解析：由⇒∴an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a2n＝6n，∴a＝a＋4d＝15，d＝3，51

6＋30＝5＝90.2

答案：90

6．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝6n＋(－1)n1λ·2an(λ为正整数，n∈N＋)，试确定λ的值，使得对任意n∈N＋，－

都有bn＋1＞bn成立．

解：(1)∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，a1＋2d＝5由a3＝5，S6＝36得，解得a1＝1，d＝2.6a＋15d＝361

∴an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝6n＋(－1)n1·λ·22n1，要使得对任意n∈N＋都有bn＋1＞bn恒成立，－－

∴bn＋1－bn＝6n1＋(－1)n·λ·22n1－6n－(－1)n1·λ·22n1＝5·6n－5λ·(－1)n1·22n1＞0恒＋＋－－－－

成立，13－λ·(－1)n1＜()n.22

当n为奇数时，333即λ＜(n，而n的最小值为 222

∴λ＜3.3当n为偶数时，λ＞－2()n，2

399而－2()n的最大值为－∴λ＞－222

9由上式可得－＜λ＜3，而λ为正整数，2

∴λ＝1或λ＝2.7.设等差数列{an}的前nn367＋a8＋a9等于()

A．63B．45

C．36D．27

解析：由{an}是等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．

由2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)得到

S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45.答案：B

8．在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝________.解析：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.∴S13＝13×a1＋a1313×a5＋a913×8＝＝52.222

答案：52

9．(2009·辽宁高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由6S5－5S3＝5，得6(a1＋3d)＝2，1所以a4＝.3

1答案：3

10.(2010·合肥模拟)在数列{an}中，a1＝，a2＝1，且an＋2－an＝1，(n∈N＋)，则S20＝2

________.解析：∵an＋2－an＝1，1∴1为公差的等差数列，2

110×9∴a1＋a3＋„＋a19＝10×＋1＝50，22

同理，偶数项构成以1为首项，1为公差的等差数列．

∴a2＋a4＋„＋a20＝10×1＋

∴S20＝105.答案：105

11．(文)在等差数列{an}中，若a1

解析：设数列{an}的公差为d，则由题意得

119a1＋9×(9－1)d＝12a1＋12×(12－1)d，22

即3a1＝－30d，∴a1＝－10d.∵a10.1121∴Sn＝na1＋(n－1)d＝dn2－ 222

21d441dn－2－＝228

∴Sn有最小值，又n∈N＋，∴n＝10，或n＝11时，Sn取最小值．

答案：10或11

11．(理)若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N＋)，{bn}的前n项和

用Sn表示，若{an}满足3a5＝8a12＞0，则当n等于________时，Sn取得最大值． 解析：(先判断数列{an}中正的项与负的项)

∵3a5＝8a12＞0，∴3a5＝8(a5＋7d)＞0，解得a5＝－5676d＞0，∴d＜0，∴a1＝－d，5510×91＝55，2

故{an}是首项为正数的递减数列．

an≥0由an＋1≤0 －5＋n－1d≥0⇒5＋nd≤076

11⇒15≤n≤16，∴n＝16.55

答案：16

1112．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)，满足f(0)＝f()＝0，且f(x)的最小值是－28

设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N＋，点(n，Sn)在函数f(x)的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)通过bn＝S构造一个新的数列{bn}，是否存在非零常数c，使得{bn}为等差数列； n＋c

Sn＋n(3)令cn＝n，设数列{cn·2cn}的前n项和为Tn，求Tn.2解：(1)因为f(0)＝f()＝0，所以f(x)的对称轴为x＝，又因为f(x)的最小值2240＋

111是－，由二次函数图象的对称性可设f(x)＝a(x－2848

又f(0)＝0，所以a＝2，11所以f(x)＝2(x－2＝2x2－x.48

因为点(n，Sn)在函数f(x)的图象上，所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3(n＝1时也成立)，所以an＝4n－3(n∈N＋)．

12nn－22n－nS1(2)因为bn＝＝令c＝－(c≠0)，即得bn＝2n，此时数列{bn}2n＋cn＋cn＋c2

1为等差数列，所以存在非零常数c，使得{bn}为等差数列． 2

S＋n2n2－n＋n(3)cnn＝＝2n，n

则cn·2cn＝2n×22n＝n×22n1.＋

所以Tn＝1×23＋2×25＋„＋

(n－1)22n1＋n×22n1，－＋

4Tn＝1×25＋2×27＋„＋(n－1)22n1＋n×22n3，＋＋

两式相减得：－3Tn＝2＋2＋„＋2

＋＋352n＋1－n×22n＋3231－4n＋＝n·22n3，1－4231－4nn·22n33n－122n3＋8Tn＝.939