数列中的“定比分点”_定比分点的向量公式

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数列中的“定比分点”

数列中的“定比分点”

等差数列通项公式an

a1(n1)d

可以写成anknb(nN)的形式，这是关于n的一次函数，与直

线方程形式一致，仅定义域不同．那么直线上的定比分点公式在等差数列中是否成立呢？下面给出相应的命题并进行证明．

命题：设数列an是等差数列，ap，am，an是数列中的三项且有证明：设数列公差为d，则apa1(p1)d，①ama1(m1)d，②ana1(n1)d，③

由①，②，得d

apampm

pmmn，则am

apan1

(1)

．

；由②，③，得d

amanmn

．

故

apamaman



pmmn



．整理，得am

apan1

．

有个上述公式，在等差数列中已知任意两项求第三项就方便了．例如： 例1 已知等差数列an中，a1390，a85120，求a37．

90

1212012

100

解：因为

13373785



12，所以a37

a13a85

1

．

1

例2 在3与19之间插入31个数，使它们组成等差数列，求通项公式． 解：设a13，a3319，通项为an(1≤n≤33，nN)．

取

1nn33，则an

a1a33

1



n2



52，即an

n2



(1≤n≤33)

．

本文仅举两例，意在启发我们在学习时要善于类比联想，进行知识的横向联系，使对所学知识融会贯

通．这对于发展我们的思维能力是大有益处的．