等差数列专题(学生版、教师版)_等差数列教师版

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等差数列专题（学生版、教师版）

知识回顾

1．等差数列的判定方法

①定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列．②中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．③通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．

2．等差数列的性质

①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．

②若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，则am＋an＝ap＋ak，其中am，an，ap，ak是数列中的项．特别地，当m＋n＝2p时，有am＋an＝2ap.③若{an}成等差数列，且Sn为其前n项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．

Sa④项数为偶数2n的等差数列{an}，有S偶S奇nd；奇n.S偶an

1S奇n项数为奇数(2n－1)的等差数列{an}，有S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)；S奇－S偶＝an；＝S偶n－1

⑤在等差数列中，若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0；若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n).3．用函数的观点审视等差数列

(1)等差数列的通项公式可表示为an＝dn＋b(这里b＝a1－d，a1是首项，d为公差)．

d1(2)Snn2d－2a1)n.∴当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是n的二次函数． 2

2典型例题

【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；

(2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；

(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.答案(1)d=4，a61＝217；(2)a1＝－8，d＝4；（3）a1＝－5，d＝3，a8＝16，S8＝

a12a2nan.12n

求证：(1)若{bn}为等差数列，数列{an}也是等差数列；

(2)若{an}是等差数列，则数列{bn}也是等差数列．

11证明(1)由已知得a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)bn，a1＋2a2＋…＋(n＋1)an＋1n＋1)(n＋2)·bn＋1，22

113∴an＋1＝(n＋2)bn＋1－·b.∴an＋1－an＝(bn＋1－bn)为常数，∴{an}为等差数列． 222

1111(2)由已知得an(n＋1)bn(n－1)·bn－1，an＋1＝(n＋2)·bn＋1－n·b，2222n

32∴an＋1－an＝(bn＋1－bn)为常数，∴bn＋1－bn＝an＋1－an)为常数，∴数列{bn}也为等差数列． 2

3aA7n45【例3】已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，且n，则使得为整数的正整bnBnn38a1＋a844.2【例2】两个数列{an}和{bn}满足bn＝

数n的个数是()

A．2B．3C．4D．

5A2n－12aaa12a解析 ∵＝∴＝7＋，∴当n＝1,2,3,5,11时，D.bnbnB2n－12bnbnn＋1

【例4】已知{an}为等差数列，Sn＝m，Sm＝n，其中m≠n，m，n∈N*，求Sm＋n.答案 解法一：设首项为a1，公差为d，解方程得Sm＋n＝－(m＋n)．

Am2＋Bm＝n，①

解法二：设Sx＝Ax2＋Bx，则，①－②得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m，2An＋Bn＝m，②

∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1，∴Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)．

mn

解法三：Sm－Sn＝n－m＝an＋1＋an＋2＋…＋am＝(an1am).∴an＋1＋am＝a1＋an＋m＝－2，∴Sm＋n＝－(m＋n)．

【例5】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；

(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和.5＝－5n＋65.∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an

12×115

∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20－3＝130.2

25553 125n－2＋方法二 同方法一求得d＝－∴Sn＝－23624∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三 同方法一得d＝－.又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，Sn有最大值.且最大值为S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.11a0所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.令n得nn≥5，所以n＝6.4

4an10

－2n＋23n n≤6，设{|an|}的前n项和为Tn，则Tn＝

2n－23n＋132 n≥7.

【例6】两个等差数列{an}：5,8,11，…和{bm}：3,7,11，…，都有100项，问它们有多少个共同的项． 解析 解法一：∵an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2，bm＝3＋(m－1)×4＝4m－1，∴两数列共同的项需3n＋2＝4m－1，∴n－1，而n∈N*，m∈N*

1≤3r≤100，∴设m＝3r(r∈N)，得n＝4r－1.∴1≤r≤25，∴共有25个共同的项．

1≤4r－1≤100.*

解法二：设两数列共同项组成新数列{Cn}，则C1＝11，又an＝3n＋2，bm＝4m－1，由题意知{Cn}为等差数列，且公差d＝12，∴Cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，∴Cn＝12n－1≤302，由n∈N*得n≤25，∴两数列有25个共同的项． 点评 可以看出，新数列的公差应是原来两数列的公差的最小公倍数.【例7】在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，则标有*号的空格中的数是

解析 记aij为从上到下第i行，从左到右第j列的空格中所填的数，则a52＝x，a41＝y.由第3行得a33＝2y＋186，由第3列得a33＝2×103－2x，所以2x＋y＝113.① 2

由第2行得a23＝2×74－3y，由第3列得a23＝2a33－103＝3×103－4x，所以148－3y＝3×103－4x，整理得4x－3y＝161.②

联立①②解得x＝50，y＝13.所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＋a15a13＝2a33－a53＝112，故a14＝＝142.故标有*号的空格应填142.【例8】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋cn(c∈R，n＝1,2,3…)，且S1，S3

成等差数列.3

(1)求c的值；

(2)求数列{an}的通项公式.Sn＋cnSSSSSS解：(1)∴－n＝1,2,3，…).∵S1，成等差数列，∴∴c＝1.232132n＋1nn(n＋1)

S2，2

Sn＋1

Sn＋1SSS(2)由(1)得1(n＝1,2,3，…).∴数列{}，公差为1的等差数列.n1n＋1n

SS∴(n－1)·1＝n.∴Sn＝n2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.n1

当n＝1时，上式也成立∴an＝2n－1(n＝1,2,3，…).【例9】（1）设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝an－1)(n∈N *)．求数列{an}的通项公式．

2an2an120

（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，a1＝12，且满足Sn＝.试证明{an}为等差数列，并求{an}的通项公式．

解析（1）∵Sn＝(an－1)，∴当n＝1时，S1＝a1＝·(a－1)．解得a1＝3.当n≥2时，22133aan＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得3，22an－1∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝3a1＝9.∴n≥2时，an＝9·3n－2＝3n.显然，当n＝1时也成立．故数列的通项公式为an＝3n(n∈N *).22an－1＋2an－1－120an2an120

（2）当n≥2时，Sn＝，①Sn－1＝②

①－②整理得：(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，又an>0，则an

－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，因此

{an}为等差数列，an＝a1＋2(n－1)＝2n＋10.【例10】（1）求sin21sin22sin23sin288sin289的值；

（2的前n项和；

111cos1

（3）求证：.

cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin21

【解】（1）倒序相加法：2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89 ∴S＝44.5（2）裂项相消法：

Sn

1.sin1111（3）解：设S，∵tan(n1)tann 

cosncos(n1)cos0cos1cos1cos2cos88cos89

S

cos0cos1cos1cos2cos88cos891＝{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]} 

sin1

cos11

＝(tan89tan0)＝2.∴ 原等式成立

sin1sin1

反馈练习

1.在等差数列{an}中，2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前13项之和等于()（A）13（B）26（C）52（D）156 2.若等差数列{an}的前5项和为S5=25，且a2=3,则a7=()(A)12(B)13(C)14(D)15

3.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()(A)14(B)21(C)28(D)35

n1(n为奇数）

4.已知数列an则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=()

n(n为偶数）

（A）4 800（B）4 900（C）5 000（D）5 100

5.已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|,公差dS6(B)S5

6.在递减等差数列{an}中，若a1+a100=0,则其前n项和Sn取最大值时的n值为()(A)49(B)51(C)48(D)50 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且

SS41

，则8=_______． S83S16

8.各项均不为零的等差数列{an}中，若anan1an10（n∈N*,n≥2),则S2 012等于________.9.项数大于3的等差数列{an}中，各项均不为零，公差为1，且_______.10.在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n,设bn,求证：数列{bn}是等差数列.2n1

11.已知数列{an}中，a1=8,a4=2,且满足an+2+an=2an+1.（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.【答案】1.B，2.B，3.C，4.C，5.D，6.D

an

1111,则其通项公式为a1a2a2a3a1a3

3*；

8、4 024；

9、an=n(n∈N)10

an12an2nann

1bn1，10.【证明】∵an+1=2an+2，∴bn1n

22n2n

17、∴bn+1-bn=1.又b1=a1=1，∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.11.【解析】（1）∴an=a1+(n-1)d=-2n+10.n29n(n5),(2)令an≥0得n≤5.即当n≤5时，an≥0；n≥6时，an

n9n40(n6).