古代的等差数列研究_等差数列的性质研究

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古代的等差数列研究

姚景峰

等差数列是一个古老的数学课题。在数学发展的早期已有许多人研究过这一课题。例如早在公元前1650年左右埃及数学的《莱因德纸草书》中，就记载着相关的问 题，其中一个问题大意是：

把100个面包分给5人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的七分之一是较 小的两份之和,则最小的一份为多少.如在巴比伦晚期的《泥板文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题。其中有 一个问题大意是：

10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目。现知第8兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？

在我国公元5世纪写成的《张邱建算经》中，通过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤。

例1（卷上第二十三题）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？

这是一个已知首项（a1）、末项（an），以及项数（n）求前n项和（Sn）的问题.对此，原书提出的解法是：Snn(a1an)2

这就是等差数列的前n项和公式.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式：ana1(n1)d

例2（卷上第二十三题）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织5尺，经一月共织39丈，问每日比前一日增织多少？

这是一个已知首项（a1），前n项和（Sn）以及项数（n），求公差（d）的问题。

2Sn2a1对此原书给出的解法是::d, n1

这个公式可变形为d(a1an)2a1ana1n1n1或者Snn[2a1(n1)d]n(n1)dna1.22

这样，实际上给出了等差数列前n项和的公式.我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究。