等差数列及其前n项和考点精讲_等差数列前n项和复习

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等差数列及其前n项和考点精讲

考点一：等差数列定义的应用

1.已知数列{an}满足a11，an1an1，求an_______.n．提示：易知{an}是等差数列，an=1+1×（n-1）=n.2．在{an}中，a1=15，3an+1=3an－2（n∈N*），则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是。

a23和a24。提示：an+1－an=



323，∴an=15+（n－1）（－

5223）=

472n

3．an+1an

（45－2n）

（47－2n）

472

．∴n=23．

3.已知f（n+1）=f（n）－（n∈N*）且f（2）=2，则f（101）=_______．

4－

4。提示：f（n+1）－f（n）=－

914

14，f（n）可看作是公差为－的等差数列，4

f（101）=f（2）+99d=－．

4．已知正项数列an满足a1，且an1

an1an

.（1）求正项数列an的通项公式；（2）求和

a11a22



ann

（裂项相消法）

1an

11an

解(1)由an1

an1an1

.可变形为：an1anan1=an ∴

=1。

∵a1

1ana22

1

∴数列是首项为2，公差为1的等差数列.2an

1n1

2n1n1，∴an。

（2）

a11



ann

12

121



132

13



n

1(n1)n

111 1n+1n+1

考点二：等差中项的应用

1.(ab)与(ab)的等差中项是________________-

2.若lg2,lg(2x1),lg(2x3)成等差数列，则x的值等于（）A.0B.log25C.32D.0或32

考点三：等差数列及其前n项和的基本运算

1.2011是数列7,13,19,25,31,,中的第项.335.提示：an=7+6(n-1)=6n+1,2.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的有关未知数：（1）a1

56,d

16,Sn5,求n 及an；（2）d2,n15,an10,求a1及Sn

3.等差数列an中，S10120，那么a1a1024.提示：S10

10（a1a10)

120，a1a1024.4.在等差数列｛an｝中，已知a310，a928，则a12的值为_____.提示：a9-a3=6d=18,得d=3.a12= a3+3(12-3)=37.5.在等差数列an中，a40.8，a112.2，则a51a52a80=

393.提示：a11-a4=7d=1.4,∴d=0.2.a51=0.8+0.2(51-4)=10.2, a80=0.8+0.2(80-4)=16.a51a52a80=S10

30（a51a80)

393.6.等差数列{an}中，a1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_________项．

6.提示：由－5×11+

11102

d=55，得d=2．由an=5，an=a1+（n－1）d得n=6．

7．在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______．

－1。提示：an=35－4n．由∴最接近的为a9=－1．

8．如果等差数列an的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n项和的公式。9．已知数列{an}的通项公式an=和为。

2nn1

.an

n12,bn4（1n1



1n2),Snb1b2bn4（12

1n2)

2nn2

12n

n

354n0354(n1)0

7

n8

得a8=3，a9=－1，,bn=

1anan1,则{bn}的前n项

.10．（1）设｛an｝是等差数列，求证：数列｛

Snn

｝是等差数列.S20072007

S20052005

（2）在等差数列an中, a12008，其前n项的和为Sn,若

证明：因为｛an｝是等差数列，所以Ｓn＝na1Snn

Snn

n(n1)



2,求S2008.d，从而

＝a1(n－1)·d，即数列｛

S20072007

S20052005

｝是等差数列，且其公差d1＝

d2

.（2）设公差是d，由

2，得a11003da11002d2，d2，S20082008a110042007d2008a120072008

11．已知等差数列an的前项和为sn，bn

1sn，且a3b3

12，s3s521．

⑴．求数列bn的通项公式；⑵．求证：b1b2bn2．

解：设等差数列an的公差为d，由a3b3

12，b3

1s3

得2a3s3，即

2a14d3a13d，21得a1d，又s3s521，得8a113d，解得：a1d1，所以an1n1n，Sn

n(n1)2

bn

．

n(n1)

⑵．由bn

2n(n1)

2（1n



1n1

12)，12

1n

1n1

得：b1b2bn2[(1

2(1

1n1)()()])2 所以b1b2bn2。

考点四：等差数列及其前n项和性质的应用

1.在等差数列an中a3a1140，则a4a5a6a7a8a9a10的值为（）

A.84B.72C.60.D.48

2.在等差数列an中，前15项的和S1590，a8为（）

A.6B.3C.12D.4

3.等差数列an中, a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前20项的和等于

A.160B.180C.200D.220

4.在等差数列an中,若a3a4a5a6a7450，则a2a8的值等于（）

A.45B.75C.180D.300

5.已知a1,a2,a3,a4成等差数列，且a1,a4为方程方程2x25x20的两根，则a2a3等于。

。提示： 由韦达定理知a1a4=

52，又a2a3=a1a4=2a1+3d.∴a2a3=

.6.等差数列an的前n项和为Sn，若S33,S67,则S9等于。

12.提示：由an是等差数列知S3,S6S3,S9S6成等差数列，即243S97，解得S912

7.设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么由an+bn所组成的数列的第37项值为.100.提示：∵{an}、{bn}为等差数列，∴{an+bn}也为等差数列，设cn=an+bn，则c1=a1+b1=100，而c2=a2+b2=100，故d=c2－c1=0，∴c37=100．

8.等差数列{an}中，a1>0,前n项和为Sn，且 S9>0,S10

5.提示：由题意可知该数列公差小于0。如图1是Sn对应的抛物线，因为其公 差小于0，所以抛物线开口向下，与横轴的 一个交点的横坐标为0，另一个交点的横

坐标在区间内（9，10），可见其顶点横坐标

在区间（4.5，5），故当n=5时，Sn最大。考点五：公式an

S1,(n1)SnS

n

1,(n2)

1． 数列an的前n项和Sn＝3nn，则an＝___________

2．设Sn是数列an的前n项的和，且Snn，则an是（）

A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，且是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列

3．设等差数列an的前n项和公式是Sn5n3n，求它的前3项，并求它的通项公式

0an

2n1

(n1)(n2)

.提示：a1s10，2

2当n2时，ansnsn1(n1)[(n1)1]2n1

由于a1不适合于此等式。∴an

02n1

(n1)(n2)

4.等差数列an的前n项和Sn4n225n。求数列|an|的前n项的和Tn。

s1,n1,21,n1,解：an===8n-29.8n29,n2.ss,n2n1n

该等差数列为-21，-13，-5，3，11，„„前3项为负，其和为－39。设sn是an的前n项和，sn=-21n+

n(n1)8

=4n2-25n.2sn,n325n4n,n

3.Tn

sss,n4n334n25n78,n

4考点六：等差数列及其前n项和创新题型

其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数。（I）写出a45的值；（II）写出aij的计算公式；解：（I）a4549（详见第二问一般性结论）。

（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： a1j43(j1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a2j75(j1)，„„，第i行是首项为43(i1)，公差为2i1的等差数列，因此

aij43(i1)(2i1)(j1)2ijiji(2j1)j

2.如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常 数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．

(1)设数列{an}是公方差为p（p>0,an >0）的等方差数列，a11求an的通项公式；(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列

(1)解：由等方差数列的定义可知：anan1p(n2，nN)，由此可得：

ana1(n1)p1(n1)pan

(2)证法一：∵{an}是等差数列，设公差为d，则anan1an1and

2222又{an}是等方差数列，∴anan1an1an……………8分

∴(anan1)(anan1)(an1an)(an1an)即d(anan1an1an)2d20，……….10分 ∴d0，即{an}是常数列．………………12分

证法二：∵1 {an}是等差数列，设公差为d，则anan1d„„○

又{an}是等方差数列，设公方差为p，则an2„„„„.8分 an1p„„○

1代入○2得，d22danp0„„○3 ○

同理有，d2dan1p0„„○4„„„„.10分

两式相减得：即2d(anan1)2d0，∴d0，即{an}是常数列．…………..12分