高数模拟卷参考答案解析_高数模拟卷含答案

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参考答案解析

一．判断题。（20分）

1.微分方程y3y5是一阶方程.（√）

考点解析：看微分方程中的导数最高有几阶即可判断为几阶方程。题干中，y3y5的导数最高阶数为1，所以此题正确。2.向量a2,0,1的模等于3.(×)考点解析：向量模长的计算。题目中，模长为2202125.所以此题错误。3.二重极限limx1y1xy1.（√）22xy2考点解析：二重极限的计算。此题中，把x1,y1代入，极限的分母非零，且分子也非零，直接计算得到为。所以此题正确。

14.设函数fx,ysinxy，则f,2.（×）

2212考点解析：多元函数的函数值计算。fx,y和fx本质区别是，前者有两个自变量，后者只有一个自变量。所以，计算多元函数的函数值时，仿照一元函数，把相应的值代入即可。题目中，fx,ysinxy，11要求f的值，把各自变量元素一一对应，即当，代x,y,2222入sinxy中，也就是等于sin2，它等于。所以此题错误。42PxdxPxdx5.微分方程yPxyQx的通解为yedxCQxe.（√）考点解析：一阶线性方程的通解。此题为概念题，书上有原话，要求记住即可。所以此题正确。

6.已知两个向量a,b，夹角为，则数量积等于abcos.（√）考点解析：两个向量的数量积计算。此题为概念题，书上也有原话，要求记住和计算即可。所以此题正确。27.无穷级数是发散的.（√）

n1n1考点解析：特殊无穷级数的敛散性。此题中，和调和级数很类

n1n似，与题目中的级数只是数量倍数，不影响级数的敛散性。又已知1是发散的，这句话书上也有原话。综合以上，可以得出题目中n1n的级数也是发散的。所以此题正确。

18.无穷级数是收敛的.（√）

n12考点解析：特殊无穷级数的敛散性。形如aq的是等比级数。题目

nn0n中，和等比级数很类似，只不过此题是a1,q1时的等比级数。又21，2因为当q1时，级数收敛；当q1时，级数发散。题目中，q在q1范围内，所以级数收敛。此题正确。9.已知函数zx22y，则

zx.（×）x考点解析：简单偏导数的计算。求偏导数时，把原先的两个自变量看

z成一个，而另一个看做常数。如题干中，要求，也就是说所求的x是关于x的偏导数，所以把y看做常数。综上，zx2x2yx2x02x，所以此题错误。x10.点3,0,0在x轴上.（√）

考点解析：空间直角坐标系的各坐标位置关系。

二．选择题。（10分）

1.平面方程x3y4zD0，当D0时，平面的位置关系是(A).A.经过原点 B.经过x轴 C.经过y轴 D.经过z轴 考点解析：平面方程的特殊位置关系。题目中，当D0时，也就是x3y4z0，可以发现，当xyz0时，等式恒成立。即平面必定经过原点0,0,0，故选A。2.微分方程yx3的通解为（C).x4x5A.C1 B.C1 420x5x52C.C1xC2 D.C1xC2 2020考点解析：求高阶微分方程的通解。方程左边只有y的导数，右边只有关于x的表达式。所以直接可以对右边x的表达式积分。注意，此时，方程左边有几阶导数，右边也要相应的几次积分。故选C。过程步骤：

yx3x4一次积分：ydyxdxy4C1 x4x5再次积分：ydyCdxyCxC1124203x5通解：yC1xC220xn3.幂级数n2的收敛半径等于(B).n12n11A.B.2 C.D.4 24考点解析：求幂级数的收敛半径。求幂级数anx收敛半径公式：

nn0liman1nan10R1R为收敛半径，即先找出一般项an，非零数R1R0再写出n1时的一般项an1，然后取极限计算，最后再取倒数就是收敛半径。故选B。过程步骤：

xnn2n12n11ann2,an1n122n2n1an12n11nlimlimn1lim02nan2nn12n12nR2n22

4.向量a2,1,2,b0,3,2的向量积为（D）.A.4,4,6 B.4,4,6 C.4,4,6 D.4,4,6 考点解析：向量积的计算。若有向量ax1,y1,z1,bx2,y2,z2，则它们的向量积：

iabx1x2jy1y2kz1iy1z2jx2z1kx1y2kx2y1iy2z1jx1z2z2iy1z2y2z1jx2z1x1z2x1y2x2y1ky1z2y2z1,x2z1x1z2,x1y2x2y1。本题中，只需把数值代入计算即可。故选D。

zx05.二元函数zarctanxy，则|y0等于(A).yA.0 B.1 C.1 D.不存在 考点解析：二元函数求导计算。本题中是一个复合二元函数，求导时注意哪个是看成常数，哪个是看成自变量。故选A。过程步骤：

zarctanxyz1xarctanxyyxyyy1x2y21x2y2 z00|x0y0y1

三．填空题。（20分）1.微分方程y3xy2的通解为e3x2232x2e2dxC.考点解析：计算一阶线性非齐次方程的通解。本题中，PxdxPxdxdxCQxePx3x,Qx2，所以只需代入公式ye计算即可。过程步骤：

y3xy2Px3x,Qx2PxdxPxdxdxCe3xdx2e3xdxdxC通解yeQxe

e3x2232x2e2dxC2.函数fx,yx4y3lnx的定义域为x,y|x0.考点解析：二元函数求定义域。和一元函数求定义域一样，只不过二元函数的定义域用集合表示和一元函数不太一样，也就是x,y|x的取值范围y，的取值范围；x|x的上，定义域是x,y|x0。

而一元函数定义域是

lnx有限制范围，即x0。综合以。题目中，只有取值范围n43.正项级数n是收敛的.（填“收敛”或“发散”）

n13考点解析：正项级数敛散性判别法选用。本题中，如果用比较审敛法不好处理，所以用比值审敛法。过程步骤： n4nn13n4n5unn,un1n133n5n1un11n513llimlimlim1nunn4n 3n43n3nn4由比值审敛法可知：收敛nn132zxy1yxy1lnx.4.函数zx，则xyy2z2z考点解析：二元函数的高阶导数。求高阶导数时，如果是形如2,2xy2z2z的，顾名思义，对同一个自变量求二次导数。但如果是形如,xyyx的，这时候应注意：求它们的导数，遵循从左到右原则求。也就是说，前者是先对x求偏导，然后在一阶导数的基础上再对y求导。后者同理。本题是前者的情况。过程步骤：

zxyzxyxyxy1 x2zyxy1yxy1yxy1lnxxy5.直线xy3z0与平面xyz10的夹角为0.xyz考点解析：直线与平面的夹角计算。直线与平面的夹角，用向量的方法来做，就是找到直线的方向向量和平面的法向量。然后根据向量夹角的计算公式可求得。但有些向量之间的数量积为零时，可直接判定向量互相垂直。又因为这是直线和平面之间的关系，根据几何关系，容易知道如果它们的向量垂直，则直线和平面是平行的；反之它们的向量是平行的，则直线和平面是垂直的。由于本题中的直线方程是一般式，所以我们先把它的向量求出来。过程步骤：

xy3z0直线方程xyz0它的方向向量S11ijk13i3jkk3ij2,4,211平面方程xyz10它的法向量n1,1,1nS0nS

直线与平面是平行关系，即夹角为06.二阶微分方程y6y9y0的特征方程为r26r90.考点解析：二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程。二阶常系数线性齐次微分方程，也就是ypyqy0，它的特征方程为r2prq0。题目中把相应的数字代入即可得出。

un07.若级数un收敛，则极限limnn1

考点解析：级数收敛的必要条件。此题为概念题。若一个级数是收敛的，那么它的一般项的极限必定为零。

关于原点对称的点为2016,2017,2018.,2017,20188.点2016考点解析：空间直角坐标系的点的位置关系。空间内的一点关于原点对称时，点内的正负数全部取相反数。119.级数的和等于.2n13考点解析：等比级数求和。判断题第8题也是等比级数，但这题让我1们求和。又因为当q1时，级数收敛，其和等于S。所以此题

1qn13qS中的代入可得。但此题中的求和符号下面是从n1开始的，32并非从零开始，所以在求和的基础上，减去n0时的值，也就是最311终的和为S.232010.点1,0,3到平面x22y4z10的距离为2.考点解析：点到平面之间的距离计算。设它们之间的距离为d，点x0,y0,z0和平面AxByCzD0之间的距离应用公式：

dAx0By0Cz0DABC222

102。5所以代入相应数据，可得d

101211222422四．解答题。（50分）

2f2f1.（10分）设fx,y3xy5xy，证明：的值为零.xyyx2223证明：fx,y3x2y25x2y3fx,y22233xy5xyx6xy210xy3 2分xfx,y22234分3xy5xyy6x2y15x2y2 y2fx,y6xy210xy3y12xy30xy2 6分 xy2fx,y2226xy15xyx12xy30xy2 8分yx2fx,y2fx,y0 10分xyyx证毕考点解析：高阶导数的计算。此题虽然看上去是证明题，但本质是让我们求出高阶导数后做差值，为计算题。

1,2,2,b2,1,0，求a2b和ba的值.2.（10分）已知向量a解：a1,2,2,b2,1,02b4,2,0 2分a2b3,4,2 5分ijkba2102i04kk04j2,4,5 10分122

考点解析：向量的线性运算和向量积计算。3.（10分）设ftdtex1fx，求fx的表达式.0x解：ftdtex1fx0x2分两端同时对x求导：fxexfx 整理，得：fxfxex令yfx,yfx3分yyex 4分这是一阶线性非齐次方程，Px1,Qxex PxdxPxdxdxCexe2xdxC 通解yeQxe 6分1xx12x7分eeCeCex 22初始条件f00 8分119分 0CC 22110分特解yfxexex 2考点解析：解一阶线性非齐次方程的特解。此题较难，主要掌握里面核心方法，会求解这类方程的通解和特解即可。如果一定要弄懂，可以参考上学期学的变上限积分函数的知识。

4.（10分）判断下列级数的敛散性.20181n1①. ②. 242018n2017n2019nn1n1

解：①.1分这是一个正项级数 可以发现，一般项的分母可以适当减小，减小到2018n2,所以整体增加2018201812 3分222018n2017n20192018nn12是p级数，且p1n1n1收敛 4分2n1n2018也收敛 5分2n2017n2019n120182018n22017n2019n12018根据比较审敛法：1n②.14n1n11分这是一个交错级数，un4 n114根据莱布尼兹判别法：limunlim4lim0 3分nnnnn 1un4是单调减少 4分n1n14收敛 两个条件同时满足，即 5分nn1考点解析：正项级数和交错级数的敛散性判别法，p级数收敛发散的取值范围。5.（10分）求过点1,2,3且与直线x2y6z8平行的直线345方程.解：直线方程lx2y61:3z845其方向向量S13,4,5 3分设所求直线方程l2的方向向量为S2且l1//l2S1//S2 5分取S23,4,5 8分所求直线方程l2过点1,2,3由直线的对称式方程可得，l12的方程为x3y24z35考点解析：求空间直线方程。

10分