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研究性学习论文——割圆术的相关算法
中国从古代开始就有不少有关圆的相关算法，我们从小就接触圆周率，对圆周率可算是相当熟悉。今年高二，我们的必修二主要讲的是几何，说到几何，自然离不开圆和球，离不开圆周率，而今年高二有些公式是通过极限思想得到的，极限思想对于我们来说比较陌生，当我们听说圆周率是用无限分割和极限得到的时，我们高二八班的一些同学对此产生兴趣，并准备通过研究割圆术的相关算法，进而初步了解极限思想。
一、割圆术的含义
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。
二、历史回顾
中国两汉(公元前 206 年至公元 220 年)以前一直使用“周三径 一 ”，即取 π≈3，这实际上是以圆内接正六边形6边总长代替了圆周长。东汉天文学家张衡(公元78年至139年)求得 π≈ 101/2(≈ 3.1622)，创下了当时的世界纪录。直到魏晋之际的杰出数学家刘徽于公元263年在为古代数学名著《九章算术》作注时，提出用割圆术来计算圆周 率的方法，含有极限的概念，是他的最大创造，他正确地计算出圆内 接正 192 边形的面积，从而得到近似值为 π≈ 157/50(≈ 3.14），又计算出圆内接正 3072 边形的面积，得到近似值 π≈ 3927/1250(≈3.1416)。刘徽割圆术为圆周率的研究工作奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重要的地位。南北朝时南朝科学家祖冲之（公元 429 年至 500 年）求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率”，另一个是“密率”，这两个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。祖冲之计算出3.1415926
三、割圆术的计算
1、圆周率
取一根细线，将其一头固定，另一头上装一个笔头，在纸上绕一圈，就出现了一个奇妙的图形——圆。圆被认为是最完美、最和谐的图形，但是有一个问题困扰了我们很久，那就是圆周长与圆直径之间有什么联系呢？首先必须明确一点，所有的圆都是相似图形，也就是说这个比值一定是一项定值，这个值就称作圆周率，用希腊字母π表示。
2、割圆术算圆周率原理及算法来源
利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方
形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密。他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。
3、计算方法
π 是圆的周长与直径之比，圆的周长永远大于圆内接多边形的周长，而永远小于圆外切多边形的周长，当边数无限增加时，这三种周长又相当接近，这就是计算圆周长的基础。如果已经知道圆 O 的内接正 n 边形的一个边长 AB=L n，我们可求出内接正 2n 边形的一个边长。从图中看出： AH=L 2n =sqr[(AM)2 +(HM)2 ] AM=L n /2
(OM)2 =(OA)2-(AM)2 OA=OH=R
HM=OH-OM=R-sqr[R 2-(L n /2)2 ] 因而得出
L 2n =sqr{(L n /2)2 +[R-sqr(R 2-(L n /2)2)] 2 } 圆内接正 n 边形的周边总长为 n × L n，如 n 充分大，我们可以为
π =(n × L n)/(2 × R)。
其中 sqr(x)为 x 的平方根。R为圆O的半径
我们知道圆内接正六边形的一个边长 L 6 =R，不失一般性，可以令R=1，从而算出n=2x×6边形的一条边长，只要x足够大，π就可以计算得足够精确。
四、有关割圆术计算取得的成就
早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。
五、割圆术的局限与圆周率算法的改进
1、这种方法在理论上可以精确到任意精度，但是它的缺点也暴露无遗，那就是计算过于繁琐，有的数学家穷尽其一生也只不过就是得出七八位有效数字。在这个问题上，我国古代的大数学家祖冲之似乎很好地解决了这个问题。他利用
类似的方法并加以简便，没有花太多的时间就得出了圆周率介于 3.1415926和3.1415927之间。只可惜他的著作《缀术》早就失传了，这不能不说是人类数学史上的巨大损失。
2、近代，又出现了一种极其巧妙的计算 π的方法——概率法。学过概率中的几何概率模型后，我们可以得出：一根长 d的细针随机地投向一张画有一组间距为 l的平行线的纸上，针与平行线相交的概率p满足以下关系： p=2l/πd根据概率与频率的关系，当实验次数足够多时，频率就可以近似地看作概率，从而计算出 π的值。用这种方法，有数学家进行了几千次实验就得出了小数点后六位的精确的π值。
3、随着数学的发展，又出现了数学分析法，这使得π的计算又向前迈进了一大步。通过高等数学的级数展开，出现了下列计算公式：
1593年韦达：
1706年梅钦：
利用数学分析中的级数展开，梅钦用他的公式计算到小数点后 100位。利用这类公式，数学家们用了数十年的时间计算，最多算出了808位π值，开创了数学史上真正意义上“计算”π的先河。
4、随着计算机的发明与飞速发展，π的计算进程有了革命性的变化。π源源不断地以每天几亿位的速度向后精确，数千亿位的 π也不足为奇了。
六、割圆术的价值
在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想，一个就是我们现在所讲的极限思想。那么第二步，也就是更关键的一步，它把与圆周合体的这个正多边形，就是不可再割的这个正多边形，进行无穷小分割，再分割成无穷多个以圆心为顶点，以多边形每边为底的无穷多个小等腰三角形，这个底乘半径为小三角形面积的两倍，把所有这些底乘半径加起来，应该是圆面积的两倍。那么就等于圆周长乘半径等于两个圆面积。所以一个圆面积等于半周乘半径，所以刘徽说故半周乘半径而为圆幂。最后完全证明了圆面积公式，证明了圆面积公式，也就证明了“周三径一”的不精确。随着圆面积公式的证明，刘徽也创造出了求圆周率精确近似值的科学程序。刘徽的 “割圆术”却在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。
七、实验心得与感受
在这次课题研究中，我们经历了许多挫折和困难，比如刚开始我们根本还不清楚割圆术是什么，加上期中考试临近，竞赛任务繁重，课题被耽搁一段时间，但最后在全部小组成员的合作下，终于把课题完成了，在研究过程中我们学到许多课堂之中学不到的东西，我们的分析问题、解决问题的能力得到了锻炼，更重要的是，通过这次研究性学习，我们学会更好地与他人交流与合作，充分发挥集体的力量。
