全国高中数学联合竞赛加a试试题(A卷)_全国高中数学联合竞赛

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2018年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)

一.(本题满分40分)设n是正整数，a1,a2,,an,b1,b2,,bn,A,B均为正实数，满足aibi,aiA,i1,2,,n，且

b1b2bnB.a1a2anA证明：(b11)(b21)(bn1)B1.(a11)(a21)(an1)A1二.(本题满分40分)如图，△ABC为锐角三角形，ABAC,M为BC边的中点，点D和E分别为△ABC的外接圆上弧BAC和弧BC的中点，F为△ABC内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NBAB.证明：若BNEM,则DFFG.(答题时请将图画在答卷纸上)

三.(本题满分50分)设n,k,m是正整数，满足k2，且nm2k1n.设A是1,2,,m的knn元子集.证明：区间0,中的每个整数均可表示为aa，其中a,aA.k1

四.(本题满分50分)数列an定义如下：a1是任意正整数，对整数n1，an1是与且不等于a1,a2,,an的最小正整数.证明：每个正整数均在数列an中出现.ai1ni互素，