笔算n次方根和笔算正余切值方法由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“a的n次方根公式”。
徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b, 则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明: 我们求 2301781.9823406 的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作: 初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b, 条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234 第4步:a=18,找下一个b，条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7 以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成，c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=***6000 第5步:a=187,找下一个b, 条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成, c=c*10^5+下一段=***0000 第6步:a=1872,找下一个b, 条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n
(18720+b)^5-18720^5
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论三角函数的笔解方法
三角数学发展到今天，已经达到相当完美的程度，但它却并不完善，是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随
时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或
计算器，没了它们怎么办呢？这人问题不容忽视，它的解决在三角数学领
域里应该占有举足轻重的地位。
那么，三角函数有没有笔算可以解决的方法呢？问必有答，大家不妨
先来看看下面的方法如何。
正弦和余弦的精确计算
方法一
我们知道y=sin x 是三角函数的关系表达式之一,但是从这个表达式
我们并不能看出y和x之间到底是怎样一种关系,因此要想从等式的一
边得到另一边就必须先搞清它们之间的关系。
那么，如何寻找这种关系呢？若想寻找到两者之间关系，就应该先
对两者有着清楚深刻地认识，让我们先来认识一下y，即正弦，说到正弦，我们不禁会联想到正弦定理： a/sina=b/sinb=c/sinc=2R，通过变形可得到a/(2R)=sina,b/(2R)=sinb,c/(2R)=sinc 又因sin x=cos(90º-x)，由此可知正、余弦的意义实际上是在圆中圆周角所对的弦与直径的比。让
我们再来认识一下 X，即角度，提到角度，我们不禁会联想到计算弧长的公式L=(nπr)/180º,通过变形可得到n=180ºL/(πr)=360º×L/(2πr)由
此可知角度的意义实际上是在圆中一角所对弧与圆周长的比。
通过对x、y的认识，我们便可发现x、y的关系实际上是弦与弧的关
系，那么怎样从弦中得到弧，或相反呢？让我们看看下面的方法如何。
当我们知道了一角的正弦值，即sin X时,通过半角公式
Sin(x/2=[(1-cosx)/2]-2,我们就可得到半角sin(x/2)的值,同样也可得到sin(x/22)sin(x/23)、...sin(x/2 a),如此一来弦和与弧长就会十分接近,假如所求得的极值为sin(x/n)(设2 a=m),那么弧长即为n Sin(x/m),如此就可得到Y与X的关系, Y=sinm(),（m∈N，且m→+∞）
X=180 º×m×sin(m-1y)（m∈N，且m→+∞）
同时也达到了从等式的一边求另一边的目的。
从上面的方法可以看出。利用Y与X的关系可以笔解，但由于求倍角值和分角值的运算比较复杂，给笔算求值带来很大不便，不宜笔算。
那有没有一种适宜的笔算方法呢？让我们再来看看下面的方法如何。
方法二 众 所 周 知，在 数 学 里 有 一 个 重 要 的 公 式：
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB。从这个公式里我们可以看出每个函数值之间都有存在着一定的联系，那么这个联系是什么呢？通过这个联系能否找到笔算解决的办法呢？归根结蒂这个联系就是上面的公式，因为通过此公式可以从一个函数值推出其它三角函数值，也就是所谓的另种笔算解法。
经上面介绍，大家大概可以明白这个解法是利用所推出公式来计算的，但是不是要推出并记住所有的公式呢？大可不必，只需9个就可以了，即：C2=2C2-1 C3=C(4C2-3）C4=8C2（C2-1）+1 C5=C（16C4-20C2+5）C6= 2C2（4C2-3）2-1
C7=（1+C）（8C3-4C2-4C+1）2-1 C8=2（8C4-8C2+1）2-1
C9=C(4C2-3)[ 4C2-3]2-3] C10=2C2(164-20C2+5)2-1（注：C=cosA，C2=cos2A……C10=cos10A）
另外再记住1 º，1′角的余弦值就可以使用了，即：cos1 º=0.99984769516 cos1′=0.*** 例如:求cos76 º的值?
解:1,通过1 º的余弦值利用C6,C7公式求出6 º,7º的余弦值。
2，把7º角余弦值代入公式求出70º角的余弦的值。
3，通过cos（A+B）的公式把70º角的余弦值和6 º的余弦值相加，即：cos76 º的值。
若求正弦，正切，余切的值可通过以下公式：
sinA= cos（90 º-A），sinA（1-cos2A）-2，taA= sinA/ cosA，ctg= cosA / sinA 可以看出，使用这种方法可以求解，但需要太多的公式，且公式中有许多二次，三次，四次方运算，计算的数值也多有重复，运算过程过于繁杂等等，若想来方便的利用它，只有把这些公式编成程序办入到计算机中使用了，那么如何利用它在笔算中简便的使用呢？
正弦和余弦的实际应用计算
方法一
我们知道在用以上公式所求的角度值中，有一些角的计算是常用的，我们称它为基本角，如果能将其直接记住，那么计算时就可大为简便，根据需要，把下面数值都精确到四位小数，它们是：
sinN′=N×2.909×10-4(0′≤N≤300′)
cos1′---cos35′=1.0000 cos36′---cos59′=0.9999
-sin1º=0.0175 sin2º=0.0349 sin3º=0.0523 sin4º=0.0698 sin5º=0.0872 sin6º=0.1045 sin7º=0.1219 sin8º=0.1392 sin9º=0.1564 sin10º=0.1736 sin20º=0.3420 sin30º=0.5000 sin40º=0.6428 sin50º=0.7660 sin60º=0.8660 sin70º=0.9397 sin80º=0.9848
例：求sin33º33′=？（注：有些数字仍需开平方，大家不妨学一下笔算开平方的方法，具体解法请参考初二代数157页）
解：sin33º= sin(30º＋3ˋ).=0.5×(1-0.0523²)-²+0.8660×0.0523=0.5446 sin33º= sin(30º＋33ˋ).=0.5446+(1-0.5446²)-²×33×2.909×10-4=0.5526
可以看出,这种方法基本上达到了笔算要求,运算相对也比较简便，但它的完整运算步骤要两个，其中还要平方、开方，仍有些不便。
方法二
如何才能更简便呢？若要解决这个问题，需要在记忆上多下此功夫---
多记一些基本角，即在我们所知道的sin1ˋ---sin1º，cos1ˋ---cos59ˋ等基本角的基础上再记住sin1º---sin189º之间的基本角,这样运算可十分简便,仅需要一个步骤就可解决,且不需要任何平方,开方,如求---sin55º55ˋ的值?
解: sin55º55ˋ=sin(55º＋55ˋ)=0.8192×0.9999＋55×2.909×10-4×0.5736 =0.8283
当然,有利也有弊,记八九十个是不少,但它并未超出我们的能力，就像学习乘法运算需要记数十个乘法口决,学习计算机五笔打字需要记几
百个字根一样,这是我们学习知识的基础,是必不可少的。
由角度可求出相应的函数值，那么由函数值如何求相应的角度呢？
例如：求Sinx=0.7859，解:1.找出基本角中与0.7859较接近的数值(Sin51 º)
2．把此角代入Sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB中求出值及相应的角度：
Sin（A-51 º）=0.7589×0.6293-(1-0.78592)-2×0.7771 =0.014
同时计算出这个角度:0.014÷2.909÷10-4≈48ˋ;
3.将所有角度与余角相加,即正弦值0.7859的角度:51 º+48ˋ=51º48ˋ。
可将以上步骤总结为一个公式：
X=（SinA-SinB）/（2.909×10-4)+B,[(SinA-SinB）≤300ˋ] 方法三
纵观以上方法，都是从笔算的解题，间接表明角度与三角函数值之间的关系，那么有没有一种非计算解题，又能直接表明角度与三角函数之间关系的方法呢？让我们来看一种作图查表的方法怎么样？
由上表我们可能看出通过它既可解题，又能直接表明其间的关系，且制作原理和方法简单，根据我们解题的需要可将它制作得尽量精密。
可能你对以上的方法都不感到满意，但如果你的计算范围是在万分
之一精确度，那么以下的方法也许会能满足你的要求。
方法四
从上一种方法的图表中我们可以看出，三角函数值在一定范围内（如
在1度之间）的变化率不大，也就是说在一定范围内它们还存在着一定的正比对应关系，如果我们能将这范围内的变化率掌握，那么整个三角函数
值便很容易算出，即：
sin4º=0.0698 sin6º=0.1045 sin8º=0.1392 sin11º=0.1908 sin13º=0.2250 sin15º=0.2588 sin17º=0.2924 sin19º=0.3256 sin21º=0.3584 sin23º=0.3907 sin25º=0.4226 sin26º=0.4384 sin28º=0.4695 sin30º=0.5000 sin32º=0.5299 sin34º=0.5592 sin35º=0.5736 sin36º=0.5878 sin38º=0.6157 sin40º=0.6428 sin41º=0.6561 sin43º=0.6820 sin44º=0.6947 sin45º=0.7071 只要将以上基本角的正弦值记住便很容易计算出任何一个角度的余弦值,例:求Sin25º25ˋ=？
1.从我们所记的基本角中找出Sin25º25ˋ所处的位置,设这个角为SinAB(A=25º25ˋ)可发现此角处在我们已知的基本角中的26度与25度之
间,设这两个角分别是角B,角C,B=26º C=25º；
2． 将此角代入以下关系式计算：
SinA= SinC＋（SinB－SinC）×[（A－C）÷（B－C）] 如：Sin25º25ˋ= Sin25º＋（Sin26º－Sin25º）×（25÷60）
=0.4226＋(0.4383－0.4226)×0.417 =0.4292
下面让我们来看看如何求解角度:arcsin0.2222=?
1.同样,先找出0.2222处在我所记的基本角中的位置,设这个值为A,可发现A处在sinA,可发现A处在sin11 º和sin13 º之间,设这两个分别为角B,角C,B=11 ºC=13 º;2.将此值代入以下关系式计算:
arcsinA=B+(A-sinB)÷（sinC-sinB）×（C-B）
如：arcsin0.2222=11º+(0.2222-sin11º)÷(sin13º-sin11º)×(13º-11º)=11º+(0.2222-0.1938)÷(0.2250-0.1908)×2 º
≈12.84 º
对于求大于45度(arcsin0.7071)的正弦函数或求余弦函数可根据以下几种方法解决: ①:开方法
如求sin60 º30ˋ=?
1:将此角转变成sin45 º以内的角来求:
sin60 º30ˋ=cos29 º30ˋ=(1-sin229 º30ˋ)-2
2.如求sinA=0.8888,同样将它转变为sin45 º以内的值再求: arcsin0.8888=90º-arcsin(1-0.88882)-2 ②倍乘法
如求sin60 º30ˋ=?
1:利用sina=cos[2×(45º-)]=1-2sin2(45º-)将其转变为sin45º以
内的角来求:
sin60 º30ˋ= cos[2×(45º－30º15ˋ)]=1－2sin2(45º－30º15ˋ)
2：如：求Sinx=0.7859，arcsina=arccos(51º－a)=90º－1arccosN(90º－a)将其转变为sin45º以内的角来求
arcsin0.8888=arccos0.8888=90º－1 arcsin(2×0.88882-1)③ :综合法
1.如求如求sin60 º30ˋ=? ①用倍乘法解决 :
利用sina=cos[2×(45º-)]=1-sin2(45º-)将其转变为sin45º以内的角来求:
sin60 º30ˋ= cos[2×(45º－30º15ˋ)]=1－2sin2(45º－30º15ˋ)② :利用cosa=sina/ tga
sin60º30ˋ= cos29º30ˋ=sin29º30ˋ/tg29º30ˋ
可以看出这时我们须先将sin29º30ˋ和tg29º30ˋ的值求出，sin29º30ˋ的值我们可以根据前面的介绍的方法求出，有关tg29º30ˋ的值求法请看下面的正切余切的求法！
2：如求SinA=0.8888 ①：用倍乘法解决:
利用arcsina=arccos(90º-a)= 90º-arccosN(90º-a)将其转变成sin45º
以内的角来求
arcsin=0.8888= arccos0.8888=90º-arccos(2×0.8888²-1)②:利用特别开方法将其转变成sin45º以内的角来求
设: a＋2b=90º，则Sina=cos2b=1-2sin²b arcsina=90º-2arcsinb =90º-2arcsin[0.5×(1-sinb)]-2
因此: arcsin0.8888=90º－2 arcsin[0.5×(1-0.8888)]-2
可以看出,通过上面的开方法不用平方而可以直接开方,计算简单了
很多!方法五
以上方法具有总记忆少,容易学,但时有开平方,如果您为了使计算更 加简便,最好学一下多记少算的这种方法:在掌握前45度角中的23个的基础上再记住以下50个: 除46º、48º、56º、58º、外，46º—90º之间的每个自然角度的正弦值都要牢记，此外还须将76.5º、77.5º、78.5º、79.5º、80.5º、83.5º、84.5º、88.5º、89.25º的正弦值记住即可,其计算方法与前
45度中的角相同。
大家知道，其实只要我们知道了正弦和余弦的值，正切和余切值就可
以计算出来，为什么还要研究正切和余切的计算呢？其原因有二，其一是
利用正弦余弦来计算正切余切的值比较麻烦，不简便；其二是利用正余弦
无法计算反正切和反余切的值；所以我们要研究正切和余切的计算下面就
让我们来看看如何进行正切和余切的计算。
正切和余切的精确计算
其实正切和余切的精确计算和正余弦的精确计算原理差不多，都需要
先求出正切的极值，然后利用倍角公式进行求值，又因为正切的极值与正
弦的极值十分接近它的求法也可用到正弦的计算方式，即：
sina=tga(a→0),然后通过正切的倍角公式如: tg2a=(2tga)/(1-2tg²a)求出
所要求的数值,而要求反正切.余切的值需要通t¬g(a-b)=(tga-t¬gb)/(1＋tgat¬gb)逐角想减,然后将相减的角再相加便可!大家可能会感到正切余切的精确
计算不实用, 是的, 这些都需要计算机来完成才行, 而我们只需要知道其
计算原理便可, 下面让我们来看看正余切的实际应用的计算方法。
正切和余切的实际应用计算
受到正余弦实际应用计算方法的启示，正余切的计算也是一样的，我们同样需要先记住以下基本角的正切值，它们是：
tg4º=0.0699 tg8º=0.1405 tg11º=0.1944 tg14º=0.2493 tg16º=0.2493 tg18º=0.3249 tg20º=0.3640 tg22º=0.4040 tg24º=0.4452 tg26º=0.4877 tg28º=0.5317 tg29º=0.5543 tg30º=0.5574 tg31º=0.6009 tg32º=0.6249 tg33º=0.6494 tg34º=0.6745 tg35º=0.7002 tg36º=0.7265 tg37º=0.7536 tg38º=0.7813 tg39º=0.8098 tg40º=0.8391 tg41º=0.8693 tg42º=0.9004 tg43º=0.9325 tg44º =0.9657 tg40º=1.0000
其计算方法也和正余弦一样，只是有±0.0001的误差,如求tg25º25ˋ=? 1.从我们所记的基本角中找出tg25º25ˋ所处的位置，设这个角为tgA 设这两个角分别是角C，角D，C=26º，D=24º；
2．将此角代入以上公式计算：
tgA= tgA＋(tgC－tgD)×[(A－D)÷(C－D)]
如: tg25º25ˋ=tg24º＋(tg26º－tg24º)×[(25º25ˋ－24º)÷(26º－24º)] =0.4452＋(0.4877－0.4452)×0.7085 =0.4753 反正切的求法与反正弦的也一样,如求arctg0.2222=?
1.同样，先找出0.2222处在我所记的基本角中的位置，设这个值为 A，可发现 A 处在tg11º和tg14º之间，设这两个角分别为角 B，角 C，B=11º，C=14º；
2．将此值代入以下公式计算：
arctgA=B＋(A-tgB)÷(tgC-tgB)×(C-B)
如: arctg0.2222=11º＋(0.2222－tg11º)÷(tg14º—tg11º)×(14º－11º)=11º＋(0.2222－0.1944)÷(0.2493-0.1944)×3º
=12.25º
而tg45º-tg90º之间的角度计算只需要通过tga×ctga=1来转变计算就可以
了,如：tg60º30ˋ=？
将其代入这个关系式就可以了：tga=ctg(90º－a)=1/tg(90º－a)
tg60º30ˋ= 1/tg(90º－60º30ˋ)=1/tg29º30ˋ 同样反正切的计算也可以这样转换，如求：arctg3.3333=？
将其代入这个关系式就可以了: arctgA=90º－arctg(1/A)arctgA=90º－arctg(1/3.3333)
可以看出，正切余切的实际应用计算比正余弦的计算要简单，很适合我们的笔算要求，希望大家可以采纳！
从以上多种计算方法的论述和实例中可以看出，三角函数完全具备笔
算的可能，虽然解法不尽完美，但基本上解决了笔解三角函数的难题，达
到了笔解的基本要求，不失为一种方法，大家不妨采用一试。
因本人学识浅薄，有疏误之处请大家多多指点，批评！
附 论
在正余弦精确计算中的第一种方法各即:
Y=sinm(),（m∈N，且m→+∞）
X=180 º×m×sin(m-1y)（m∈N，且m→+∞）
和第2种方法9个公式的计算求解中，必须先得到一个极值才能顺利的解题,但如果按照常规的计算,要得到一个极值是需要一项繁杂的计算过程,使解题的实际应用困难重重,因此需要找到一种简便的求解极值的方法。下面就上我们来共同研究一下求解极值的简便方法：在圆中，已知一个角度a和半径长（设半径长为1）,我们便很容易通过计算得这个角a所对的弦长b和弦长c的比值，即：(180º/sina)(aπ)=b/c,当这个角度a无限的变小时，那么这个比值b/c就会无限的接近1的比值，即通过：sina=πa/180º便可求出，如果用弧度制来表示即为：sina=aˋ(a∈弧度, a→0,aˋ=a/1弧度)可以看出我们只要将角度制化为弧度制就可以了,十分简单；同样，在通过求解这个角的正弦近似值我们还可以很容易求出圆周率π的近似值。
如此一来，我们便得到了一个重要的公式：
180º/a sina=π（a→0），只要知道圆周率的值，我们便可以很容易得到一个尽可能小的三角函数的值，相反，只要知道一个尽可能小的的三角函数值sinA，我们便可以很容易得到圆周率的近似值，它揭示了三角函数与圆周率之间的奥密！
