华北电力大学线代测试题（推荐）_华北电力大学试卷

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线性代数期末测验（电气1206-1210）

1、尽可能多的给出方阵A可逆的充要条件。

220

32、求三阶对称阵X，使其满足2XXA，其中A210。

201x1x22x33x41,x3x6xx3,12343、已知线性方程组问a和b各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多3xxax15x3,3412x15x210x312x4b.解？在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解。

4、设向量组11,1,2,4,20,3,1,2TT,33,0,7,14,41,2,2,0,1）则由向量组生（TTT成的向量空间W的维数为多少？试找出W的一组基？（2）向量b2,1,5,10是否在W内，若在请写出在所找基下的坐标，若不在请说明理由？（3）能否找到另外的正交向量组1,2,均正交？

使其与W内所有向量111110100000

5、已知A000,B001,C000,D011，问：哪些矩阵是等价的？哪些000000000011矩阵相似？哪些合同？并说明理由。

6、n阶方阵A的每个元素均为非负，且每行元素之和为1，证明A的所有特征值均在[1,1]之间。

1a10T7、设Aa1b,R(A)2，1为A的特征向量，求正交阵Q使QAQ。1b10

8、设Ann,1,2,3是n维列向量，且10，A11,A212,A323, 试证明：1,2,3线性无关。

9、证明满足A2A2A4E的实对称矩阵A是正定阵。32

10..红绿色盲基因是一种隐性的位于X染色体上的伴性基因。为给出一个描述给定的人群中色盲的数学模型，需要将人群分为两类――男性和女性.令x0,y0分别为男性与女性中有色盲基因的比例，由于男性从母亲处获得一个X染色体,且不从父亲处获得X染色体,所以下一代的男性中色盲的比例x1将和上一代的女性中含有

隐性色盲基因的比例相同.由于女性从双亲处分别得到一个X染色体,所以下一代女性中含有隐形基因的比例y1将为x0和y0的平均值,写出第n代男性和女性中色盲的比例, 并分析变化趋势。

参考答案

T

一、1.A0；2.A满秩；3.AX0只有零解；4.AXb有唯一解；5.所有特征值不为零；6.AA为正定阵；7.和单位阵等价；8.可表示为有限个初等阵的乘积；等等。

2121，可使QTAQdiag(0,3,3)，从而QTXQdiag(0,1,1)，所以

二、正交阵Q21232210022QT1210。XQ131201

三、1.a2时，方程组有唯一解；

2.a2,b1时，方程组无解；

80323.a2,b1时，方程组有无穷多解。通解为Xc,cR。

0120

四、1.W为三维空间，第四个向量加上其它任两个向量都可以构成W的一组基；

2.以1,2,4为基时，b2,1,5,10在基下的坐标为(2,1,0)，即b212;

T284可与W空间内任一向量正交。3.向量c101

五、1.秩相同的矩阵是等价的，即A,C,D等价；

2.特征值不同的阵一定不会相似，A,B,C有相同的特征值：1,0,0，而D的特征值为2,0,0。但由于A可以对角化，但B不可以，故只A,C是相似的；

3.合同一定会有相同的秩，并且对称阵只会与对称阵合同，不对称阵只会与不对称阵合同，由此可知CD合同。

六、提示：可设特征向量的元素中最大值为M，最小值为m。矩阵的每行与特征向量相乘时，用矩阵每行元素的性质可证明。

1a10a

七、由a1b111b10b0。QTAQ122021，可知a0,b0，正交阵Q0022010220，可使22

八、可用反证法。先假设1,2线性相关，设2k1，可用已知推出矛盾；同样再假设1,2,3线性相关，3可由1,2线性表示，再用已知可推出矛盾。

九、存在正交Q可使A对角化，从而有：QT(A32A22A)Q32224E，于是A的特征值（均为实数）必定满足：224，即只可能2，从而矩阵正定。321xnxn10n

十、遗传的矩阵关系式为：，记为Un1AUn，则UnAU0。矩阵 yn11/21/2yn01211P，可使PAP01/2，从而

11(1)nx2y(xy)000n1101x02y02nn1，limUnUnAU0PPU0即长期来看，男女所n1x3x2y3(1)00(xy)x02y0002n占比例趋于稳定，且相等。