车道被占用对城市道路通行能力的影响_2城市道路通行能力

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车道被占用对城市道路通行能力的影响

摘要

本文针对城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，分析了城市交通中道路发生事故，道路发生堵塞时，事故路段道路通行能力及堵塞排队长度随时间的变化过程，建立了堵塞排队长度与时间及车流密度（亦可理解为堵塞密度）的数学模型。

针对问题一：我们通过统计视频1上游和事故所处横断面单位时间内的车流量，以及每次绿灯亮时堵塞路段内滞留的各类型车辆数，交通流压力差函数P(t)来描述实际通行能力的变化，并分析了滞留车辆的车当量数N(t)随时间的变化过程，滞留车辆的车当量数随时间的推移而变大，由此可知，事故所处横断面的实际通行能力随时间推移而降低。

针对问题二：通过视频1的分析，我们着重分析了视频2滞留车辆的车当量数N(t)随时间的变化过程，通过与视频1的比较，视频2滞留车辆的车当量数的增长趋势较慢，可知，同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力会产生影响，分析可知其产生的主要原因是下游车流转流量所占比例不同。针对问题三：参照流体力学一维管道的突发堵塞模型，我们建立了交通流动力学的模型，建立了分析道路内任意截面车流量和车流密度的函数关系式：

q0;tx通过方程：

dNq(b,t)q(a,t)dtq(x,t)u(x,t)(x,t)

N(t)(x,t)dx；

ab利用一阶线性方程的特征线解法以及数据拟合最优化求得(x,t)与N(t)的函数表达式，来间接描述q(b,t)、q(a,t)与N(t)的函数关系，建立了N(t)关于(x,t)的数学模型。并通过滞留车辆数N(t)和排队长度L(t)的线性关系来求得排队长度。

针对问题四：我们主要是用建立的模型对其进行了预测。

关键字：车流量 交通流动力学模型 特征线解法 数据拟合

一． 问题重述

车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。

车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。

视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：

1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

二． 模型假设

1.假设上游交通十字路口右转向相位变化受信号灯控制。

2.忽略小区路口车辆对流量影响，假设其跟上游十字路口一致

3.假设车流（即）交通流与流体管流的运动相似，并且忽略交通流波的变化

三． 符号说明

t x 时间

以事故截面为原点沿车道建立x轴

qin(t)上游入口t时刻车当量流量 下游出口t时刻车当量流量 qout(t)

P(t)交通流压力差函数

N(t)t时刻滞留车辆的车当量数；

(x,t)：t时刻x处车流密度；

u(x,t)：t时刻x处的车流速度：q(x,t)：t时刻x处的车流量;L(x,t):t时刻的堵塞的排队长度；

四． 模型建立

4.1 关于实际通行能力的统计分析

按30秒一次的交通灯换灯频率，我们对上下游车流量进行了的统计。由于不同类型的车的标准车当量数（pcu）不同，我们查阅资料，取一个比较适中的换算标准[1]，取小汽车的标准车当量数为1.0、公交车的标准车当量数为 2.0。我们给的车流量是车的当量流量。

4.1.1 对视频1进行统计分析 统计数据如下表1所示

表1

时间

t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 流入车当量流量

流出车当量流量qin/(pcu/min)16 13 17 15 21 18 18 21 29 20 24 14 14

qout/(pcu/min)21 16 17 15 20 21 21 21 17 15 18 19 32

交通流压力差

P(t)-5-3 0 0 1-3-3 0 12 5 6-5-18

运用Datafit软件对时间和出入率差的数据按如下函数进行非线性拟合。

P(t)a*t^3b*t^2c*td

拟合分析如下图1 其中

a=-0.1006958728 b=2.112497796 c=-12.13246068

d=16.77822178 拟合曲线图如图2：

图1

图2

从图像的趋势，可以定性的分析；在未发生事故时，一个红绿灯周期道路交通流压力差几乎为零，道路实际通行能力是非常大的；当发生交通事故，以分钟为单位，交通流压力差增大，道路的实际通行能力改变减弱。由于交通流的波动性，实际交通量是波动的，导致了交通流压力差曲线的波动。

当然，我们可以考虑，用t时刻滞留车辆的当量数 N(t)来反映道路的通行能力，我们的统计数据如下表2所示

表2 时间t/min2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

滞留车辆当量数N(t)10 15 12 17 16 21 23 26 27 35 33 26 26

用Datafit作非线性分析，按如下函数关系拟合N(t)a*t^3b*t^2c*td

拟合分析如下图3： 其中

a=-0.06986151104 b=1.562268614 c=-8.167070674

d=24.93306693 拟合曲线图如图4：

图3

图4 显然，从上图拟合曲线的走势，路段车辆的滞留车辆当量数随时间变化拟合相关性，可以判断，路段车辆滞留车辆当量数是时间的函数，且滞留车辆当量数随事故时间的持续，越来越大。我们知道车辆的滞留数越打，交通流的压力越大，实际交通能力下降。

4.1.2 对视频2进行统计分析

统计数据如下表3：

考虑用t时刻滞留车当量 N(t)来反映道路的通行能力

表3 时间t/min2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 公交车数1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 2

小汽车数5 9 4 3 3 5 10 6 2 4 6 2 7 9 15 21 25 12

滞留车当量数N(t)7 9 4 3 3 5 10 8 2 4 8 2 9 9 17 23 27 16

运用Datafit作非线性分析，按如下函数关系拟合N(t)a*t^3b*t^2c*td

拟合分析如下图5： 其中

a=0.002521343466 b=0.06168831169 c=-1.345115798

d=9.799019608 拟合曲线图如图6：

图5 观察拟合曲线图4与图6，我们会发现视频2中滞留车当量数N(t)随时间的变化相对要平缓些，且并没有太大的波动；可以推测，当如视频2中的交通事故占道情况时，道路的实际通行能力变化并没有视屏1中交通事故占道情况变化剧烈。为何会出现这种情况呢？我们给3个车道进行编号G1、G2、G3，我们分析认为如附件3所示，当事故占道靠近路中线时即占用G2和G3，由于G1道靠近人行路边，必定留有一些非机动车空间，再者，三车道的下游流量比率不同，且从附件3中我们可以看到G1道的下游流量比率是最低的，当然占用G2和G3道时，上游车的换道比例要大一些。因此，在视频1事故区间中的滞留阻力要大一些，道路区间的单位时间滞留车标准车当量要大与视频2中的，且波动要大些。用Exce画视频1和视频2滞留车当量数N(t)与t的散点图如下图7：

图6

视频1与视频2单位时间滞留车标准车当量比较40N(t)(pcu/min)30201000510t/min1520单位时间滞留车标准车当量N(t)2单位时间滞留车标准车当量N(t)1图7

4.2 交通流动力学模型

考虑到在车流密度am时（m为道路畅行时的最大车流密度），且公路的长度远大于汽车的间距，因而我们把公路上的行驶的离散的一辆一辆的汽车看作连续流，公路就可以看作一个连续的流场，进而我们把0x240的这段公路作为研究对象，u(x,t)表示t时刻流场在x点的流速，流量q(x,t)表示单位时间通过x点处的车辆数，(x,t)表示表示t时刻流场在x点的汽车密度。显然，我们有

q(x,t)u(x,t)(x,t)

观察视频可知，进入研究对象axb的这段公路上的所有汽车只能通过事故断面处离开，因此我们假定此段公路无岔口，且不发生超车，掉队等情况，设t时刻在研究路段0,240内车数为N(t)，由车辆守恒的角度考虑，t时间内进入研究路段的车辆减去离开研究路段的车辆等于研究路段内车辆数的增量。

N(tt)N(t)q(b,tt)tq(b,t)t

在上式中我们取极限令t0，则有

dN

q(b,t)q(a,t)dt

又由于N(t)是(x,t)关于x的积分，故有

N(t)(x,t)dx

ba将上面的两式联立，可以得到

ba dxq(b,t)q(a,t)t

在上式中利用积分中值定理，并令ba，易得

q0 tx考虑到车道数的影响，我们加入了修正因子A,A表示车道数，而且我们知道车流量qu，上式可以表达为

(A)(uA)0 tx

该方程可以表示研究路段内任意截面处车流密度和车流速度u关于时间t与距离x的关系。

上面的模型虽然是基于连续流的基础上建立的，但由于交通事故造成的道路堵塞是突然发生的，平稳均匀的交通流会在交通事故处出现堵塞，出现累积。之前在连续流基础上得到的守恒定则依旧是成立的，方程(A)(uA)0可进一步得到：

txuu0 txx

我们注意到这样一个事实：车流密度越小，车流速度u越大，车流密度 越大，车流速度越小，当车流密度达到其极限值时，车流速度u0，道路就出现了阻塞。且随着堵塞时间t的增长，车流速度u越来越小，而随着车辆从上游向事故发生地点的靠近，车速会越来越近，在此我们假定车速u与t、x呈线性关系：

u(x,t)axbt

将此关系式代入常微分方程中，化为一阶线性的偏微分方程，利用一阶线性方程的特征线解法，利用边界条件解一阶线性常微分方程。得到(x,t)关于x，t的函数表达式：

(x,t)f(x,t)

显而易见，研究路段内车辆堵塞的长度L(t)与研究路段a,b内车数N(t)成线性关系。

L(t)cN(t)d

又由前面的叙述可知

dNq(b,t)q(a,t)dtt10N(t)q(b,t)q(a,t)dt

由N(t)及(x,t)的含义，有

N(t)(x,t)dx

ab即：

则：

ba(x,t)dxq(b,t)q(a,t)dt

ot1L(t)c(x,t)dxd

ab观察视频资料，我们可知，在发生事故前，道路是畅通的，我们考虑一定长度的均匀路段0x240, 起初交通是均匀的, 拥有车流密度a、流量qa。假设事故在位置x = 0 处发生, 起始时间t = 0, 结束时间t=t0。在事故持续过程中, 通过x = 0 的流量减少到q= qf

t0,a,qqa;x0,fa,qqfqa,(0t0t0);x0,a,qqa,(tto).这是交通流动力学模型的全部方程。，五． 模型求解

5.1 第一阶段模型的求解：

通过对视频的分析易知：由于堵塞时车辆换车道时，所产生的同时占据两道车道问题及堵塞时车辆排队车道数不确定等问题所产生的随机效应严重影响了堵塞长度L与研究路段故我们在此假定：堵塞排队a,b内车数N(t)的线性关系。时，车辆按三列进行排队，且两辆车之间除了安全距离外不存在其它距离，并且将所有车辆转换成以PCU为单位的值来进行计算。我们记录了事故视频中排队距离达到120m时堵塞的车辆数和排队列数，此三次车辆排布比较密集，且排队数为三列：

时间 16:50:42 16:51:41 16:52:46

车辆数 22 24 26

由于数据较少且其中一组数据排队组数虽为三组，但其中一组未排满。数据较少无法得出其最优解，我们联系实际车长、车距，并观察视频中排队长度随滞留车辆数的变化，结合单队列时排队长度达到120m时的车辆数，综上我们可以得到：

L(t)4.5N(t)12

5.2 第二阶段模型的求解：

根据交通流守恒方程：

(A)(uA)0.tx 因为A为路段宽度或车道数，故可认为A为常数，从而交通流守恒方程可简化为：

(u)u0 u0

txtxx 又因为uaxbt，故上式可化为：

(axbt)a0。tx根据初值条件，列写方程组axbta0,120x120,t0, txx,0x,120x120.1，解上面方程组 2，求特征线

dxaxbt,t0, dt

x(0)c.解得x(t)bat(a1)ce。2a 2.令P(t)(x(t),t)

bdP(t)atP(t)(a1)ce dt a2P(0)(x(0),0)(c,0)c.(ca2b)atb112a2bbbte(c)e(12)（1）解得： P(t)32232aaaaaaa 由x(t)bat(a1)ce 2abbb得cx(t)t2eat2（2）

aaa 将（2）式代入（1）式并略去a和b的高阶无穷小量化简得：

25lnt (x(t),t)P(t)(ab)x(t)t1et(ab)x(t)t(b)lnx(t)b。

52at25lnt即 (x,t)P(t)(ab)xt1et(ab)xt(b)lnxb。

52at又因为 N(t)(x,t)dx。

0x0 根据视频1中每次绿灯亮时滞留的车辆数和时间等数据，通过拟合求得最优解

a0.64 

b0.65344故 u(x,t)0.64x065344t

车流密度

1lnt 2tx01lntdx

N(t)(0.01344xt1)et0.00512xt5.57lnx02t(x,t)(0.01344xt1)et0.00512xt5.57lnx13 最终得到排队长度 L(t)4.5N(t)12

5.3 问题四：

现已知交通事故所处横断面距上游路口距离为140米，且路段下游方向需求不变，以事故所处横断面距上游的路段为对象。求解如下：

问题四：现已知交通事故所处横断面距上游路口距离为140米，且路段下游方向需求不变，路段上游车流量恒定为1500pcu/h,以事故所处横断面距上游的路段为对象。求解如下： 当x0140时，有： N(t)1400(0.01344xt1)et0.00512xt5.57lnx1lntdx，2t解上述方程可得

N(t)96.769et70lnt1.53t0.0893（4）t 因为L(t)140，将（4）式代入（3）式可得：

lnt 1404.596.769et701.53t0.089312。

t解得：

t5.387

六． 模型优缺点分析

1.本模型利用车流密度随时间的变化来反映上游车流量和事故横断面实际通行能力对路段车辆排队长度的影响。进而对车流密度进行距离上的积分求得堵塞车辆数，最终利用堵塞车辆数与排队长度的线性关系求得排队长度。

2.本模型较好的实现了与视频排队长度的拟合。但是本模型是基于交通流是连续流的基础之上的，而本题中所处的城市交通环境下，由于红绿灯的周期性，交通流是非连续的，是离散的，本模型是在连续流基础上进行模拟和预测的，可能与实际情况存在差异，本模型更适用于高速公路等交通流更加趋向于连续流的状况。

参考文献: [1]沈继红，高振滨，张晓威 《数学建模》 北京：清华大学出版社，2011； [2]吴正 《高速交通中堵塞形成阶段的交通流模型》

交通运输工程学报 第三卷 第二期 2003年

[3]2002年上海交通大学博士学位论文《交通流的数学模型、数值模拟及其临界想变行为的研究》 作者：薛郁 专业：流体力学附件3

视频1中交通事故位置示意图

所使用的软件：

Datafit 二维曲线专家 Mathematica SPAW Statistice