互不同构的18阶和20阶群_同阶循环群同构吗

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抽象代数小论文

互不同构的18阶和20阶群

姓名：成超 班级：F0907101 学号：5090719019

一．互不同构的18阶群

1.互不同构的18阶Abel群

设A为18阶的Abel群，则A18232。

由Sylow定理可以确定A的Sylow子群阶数分别是：A22和A3329。从而得到A的初等因子有（2,3,3）和（2,9）。所以18阶Abel群有两个：Z2Z3Z3和Z2Z9。

（2,3,3）化为不变因子是（3,6），所以Z2Z3Z3Z3Z6。（2,9）化为不变因子是（18），所以Z2Z9Z18。从而确定互不同构的18阶Abel群有两个：Z3Z6和Z18。

2.互不同构的18阶非Abel群

设G为18阶非Abel群。

由Sylow定理可知，G必有9阶的Sylow-3子群，不妨记为S。

2.1 S是循环群：

则Sa,a1,a91，再取G中2阶元b b21,bS，则有Ga,b。设bab1ai,0i8，则abab22bbab1b1babbabi11iaiia，故i21mod9。

i2由0i8可解得i8，即bab1a8a1。所以，Ga,ba9b21,bab1a8D9。

2.2 S不是循环群：

则必有Sab,a3b31，再取G中2阶元cc21,cS，则有Ga,b,c。

i1j1i2j211cacab,cbcab,0i1,i2,j1,j22。则有：设

acacccac221c1cabccaci1j111i1cbc1j1abi1j1i1abi2j2j1

ai12i2j1i1j1j1j2b

bcbcccbc221c1cabccaci2j211i2cbc1j2abi1j1i2abi2j2j2

所以可以得到如下的同余方程组：

2i1i2j11mod3i1j1j1j20mod3 其中0i1,i2,j1,j22 2iiij0mod3jij1mod32211222ai1i2i2j2bj22i2j1而且，在解这个同余方程组的时候，应当注意到如下的事实：

i1i22 即若方程组有一解为1，则还有对应的另一解

j11j22i12i2 1j12j21 但是这两组解从本质上讲是一样的，这是因为只要交换下第一组解的a和b的位置，就能的到第二组解，所以，这两组解只算作一组解。从而我们可以得到如下7组方程组的解：

⑴i1,i2,j1,j20,1,1,0 即 cac1b,cbc1a ⑵i1,i2,j1,j21,0,0,1 即 cac1a,cbc1b ⑶i1,i2,j1,j21,2,0,2 即 cac1ab2,cbc1b2 ⑷i1,i2,j1,j21,0,0,2 即 cac1a,cbc1b2 ⑸i1,i2,j1,j21,0,1,2 即 cac1a,cbc1ab2 ⑹i1,i2,j1,j20,2,2,0 即 cac1b2,cbc1a2 ⑺i1,i2,j1,j22,0,0,2 即 cac1a2,cbc1b2 下面再来探究这几组解的性质：

首先，因为G非Abel群，所以(2)不合条件，舍去。对于(3)：有cab2c1ab2b4a,cac1ab2；

即在(1)中用ab2代替a，用a代替b，可见(3)和(1)同构。

对于(4)：有cabc1ab2,cab2c1ab4ab；

即在(1)中用ab代替a，用ab2代替b，可见(4)和(1)同构。对于(5)：有cabcaab2122b,cbc1ab2；

即在(1)中用ab2代替a，b保持不变，可见(5)和(1)同构。对于(6)：有cac1b2,cb2c1a2a；即在(1)中a保持不变，用b2代替b，可见(6)和(1)同构。对于(7)：可证明(7)与(1)不同构：

反证法：若(7)与(1)同构，ab，可以代替（1）中a的位置。则存在(7)中的但cabc1ab22ab2，即在(1)中bcac1a2，这与Sab矛盾。所以(7)与(1)不同构。

故剩余的是：G1a,b,ca3b3c21,abba,cac1b,cbc1a；

G2a,b,ca3b3c21,abba,cac1a2,cbc1b2。

所以，互不同构的18阶非Abel群有：

Ga,ba9b21,bab1a8D9；

G1a,b,ca3b3c21,abba,cac1b,cbc1a； G2a,b,ca3b3c21,abba,cac1a2,cbc1b2；

二．互不同构的20阶群

1.互不同构的20阶Abel群

设B为20阶的Abel群，则B20225，由Sylow定理可以确定B的Sylow子群阶数分别是：B2224和B55。从而得到B的初等因子有（2,2,5）和（4,5），所以20阶Abel群有两个：Z2Z2Z5和Z4Z5。

（2,2,5）化为不变因子是（2,10），所以Z2Z2Z5Z2Z10；（4,5）化为不变因子是（20），所以Z4Z5Z20； 从而确定互不同构的20阶Abel群有两个：Z2Z10和Z20。

2.互不同构的20阶非Abel群

设G为20阶非Abel群。

由Sylow定理可知，G必有5阶的Sylow-5子群和4阶的Sylow-2子群。Sylow-5子群的个数满足：N15k120，只有唯一解N1，记这唯一的Sylow-5子群Sa,a1,a51。

Sylow-2子群个数满足：N22k120，则N21或N25。当N21时，G是Abel群，所以，N25。

这时，G有5个相互共轭的4阶Sylow-2子群，不妨记其中一个为K。

2.1 K是循环群：

则Kb,b1,b41。设baba,0i4，则a1ibabbbab4431b3baba3i3i4，所以ai411，即i41mod5，i可取1,2,3,4。

⑴i1，则G是Abel群，舍去。

⑵i2，则bab1a2，此时G1a,ba5b41,bab1a2。⑶i3，则baba，此时b133ab31aa27a2，与⑵同构。

33⑷i4，则bab1a4，此时G2a,ba5b41,bab1a4。

2.2 K不是循环群：

则Kbc,b2c21,bccb。设bab1ai,cac1aj,0i,j2，则有abab所以ai2122bbab1b1a,acacccaci2221c1a，j2aj211，即i2j21mod5。i可取1,4；j可取1,4。

⑴i1,j1，则G是Abel群，舍去。⑵i1,j4，则bab1a,cac1a4，此时G3a,b,ca5b2c21,bccb,bab1a,cac1a4Z2D5。⑶i4,j1，则显然与⑵同构。⑷i4,j4，则bab1a4,cac1a4，此时bcabcbcac11b1babbab4114a16a,cac1a4，所以与⑵同构。

所以，互不同构的20阶非Abel群有

G1a,ba5b41,bab1a2 G2a,ba5b41,bab1a4

G3a,b,ca5b2c21,bccb,bab1a,cac1a4Z2D5

三．结论

18阶Abel群：Z3Z6，Z18；

18阶非Abel群：Ga,ba9b21,bab1a8D9；

G1a,b,ca3b3c21,abba,cac1b,cbc1a； G2a,b,ca3b3c21,abba,cac1a2,cbc1b2。

20阶Abel群：Z2Z10，Z20；

20阶非Abel群：G1a,ba5b41,bab1a2；

G2a,ba5b41,bab1a4；

G3a,b,ca5b2c21,bccb,bab1a,cac1a4Z2D5。