初中数学教学中巧用面积法解题（材料）_巧用面积法解题几例

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初中数学教学中巧用面积法解题

许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。一.用面积法证线段相等

例1.已知：如图1，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。

求证：CF=BE。

图1 证明：连结EC，由BD=DC得，SABDSACD,SBDESCDE，两式两边分别相加，得 SABESACE

11AEBEAECF2故2

所以BE=CF。

注：直接由SABDSACD得

11ADBEADCF22更简洁。

二.用面积法证两角相等

例2.如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。

求证：∠AOC=∠BOC。

图2

证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q。因为△ACD、△BCE都是等边三角形，所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，所以∠ACE=∠DCB 所以△ACE≌△DCB 所以AE=BD，SACESDCB 可得CP=CQ 所以OC平分∠AOB 即∠AOC=∠BOC

三.用面积法证线段不等

例3.如图3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。

求证：BD>CD。

图3 证明：过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F 设BC边上的高为h。因为∠BAD=∠DAC 所以DE=DF 因为且AD>AC 所以SABDSACD SABD11ABDE,SACDACDF22

11BDhCDh2即2

所以BD>CD

四.用面积法证线段的和差

例4.已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。

求证：PE+PF+PD=h。

图4 证明：连结PA、PB、PC 因为又SABCSABPSAPCSBPC SABP

111ABPF,SAPCACPESBCPBCPD222，1111BChABPFACPEBCPD222所以2。

因为△ABC是等边三角形

所以hPFPEPD 即PE+PF+PD=h

五.用面积法证比例式或等积式

例5.如图5，AD是△ABC的角的平分线。

ABBDACDC。求证：

图5 证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。因为AD是△ABC的角的平分线，所以DE=DF，SABDABS则有ACDAC。

过A点作AH⊥BC，垂足为H，SABDBDS则有ACDDC

ABBDACDC 即

六.用面积比求线段的比

例6.如图6，在△ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。

求证：MD1AM2。

图6 证明：连结CM，过B作BG⊥AD交AD延长线于G，则 SBAFSBCF,SMCFSMAF，所以SMABSMBC。

1SMBDSMDCSMBC2又，1SMBDSMAB2所以，11BGMD,SBAMBGAM22 1MDAM2所以。SMBD

总结人：张廷伦 2010年5月18日