§2.4.3反函数(3)_反函数三解读

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一．课题：反函数（3）

二．教学目标：1.进一步理解互为反函数的定义域、值域的对应关系，运用它解决有关问题；

2.了解特殊轴的轴对称的图象之间的函数解析式的联系。三．教学重点：运用反函数的性质，关系解题。四．教学过程：

（一）复习：（提问）

1．原函数与反函数的定义域与值域之间的关系。2．yf(x)(xA)的反函数为yf1(x)(xC)，则有

f(a)baf1(b),f1(f(a))a(aA)；

f(f1(a))a(aC)．

3．练习：

2x3x,求f1()； x37x21

（2）已知f(x)，求f(0)；

2x3x

（3）已知f(x1)，求f1(x1)．

x1

（1）已知f()

（二）新课讲解：

例1．已知函数f(x)axk的图象经过(1,3)，其反函数图象经过点(2,0)，则求f(x)的表达式。

解：因为反函数图象经过点(2,0)，所以原函数必过点(0,2)，又原函数图象过点(1,3)，由此可得

解得a1,k2，所以f(x)x2． x3a0k2

ak3x1(x0)的反函数。

x1(x0)解：由yx1(x0)得其反函数为yx1(x1)，又由yx1(x0)得其反函数为yx1(x1)．

x1(x1)

综上可得所求的反函数为y．

x1(x1)例2． 求函数y1例3．已知函数yf(x),xA,yC存在反函数yf(x)，1

（1）若yf(x)是奇函数，讨论yf(x)的奇偶性；

1（2）若yf(x)在定义域上是增函数，讨论yf(x)的单调性。

证明：yf(x)是奇函数，定义域关于原点对称，∴yf(x)的值域也关于原点对称。∴yf(x)的定义域关于原点对称，1设xC，存在tA使f(t)x，∴f(x)t，yf(x)是奇函数，∴f(t)x，反函数（3）∴f1(x)t，∴f1(x)tf1(x)，所以yf1(x)是奇函数。

（2）设x1,x2C，且x1x2，存在t1,t2A，使f(t1)x1，f(t2)x2，又∵yf(x)在定义域上是增函数，∴t1t2，即f1(x1)f1(x2)，所以，yf1(x)在定义域上是单调增的。例4．若函数yf(x)的图象过点(1,4)，（1）求f(x2)的反函数的图象必经过的一个定点的坐标；

（2）若函数yf(x)的反函数为yf1(x)，求函数yf1(x1)和函数yf1(x)1必经过的定点。解：（1）yfx的图象经过点(1,4)，∴yfx2的图象经过点(1,4)，所以，yfx2的反函数的图象经过点(4,1)．

（2）yfx的图象经过点(1,4)，∴yf1x的图象经过点(4,1)，故函数yf1(x1)的图象经过点(3,1)，函数yf1(x)1必经过的定点(4,2)． 说明：1．可以利用函数图形的平移去看；

2．可以利用映射，作用对象的观点来分析。

五．小结：

1.反函数的性质；

2.互为反函数的两个函数的关系在解题中的应用。六．作业： 补充：

1． 若函数yf(x)的图象经过点0,1，求函数yf(x4)的反函数的图象经过的定点的坐标。

2． 已知fx2x11,求f1．

4x33213．已知函数yf(x)在定义域,0上存在反函数，且fx1x2x，求f1 ．2x21(x0)

4． 求函数y的反函数。

2x1(x0)

反函数（3）

六．作业： 补充：

1． 若函数yf(x)的图象经过点0,1，求函数yf(x4)的反函数的图象经过的定点的坐标。

2． 已知fx2x11,求f1．

4x3323．已知函数yf(x)在定义域,0上存在反函数，且fx1x2x，求f11 ．

2x21(x0)

4． 求函数y的反函数。

2x1(x0)

六．作业： 补充：

1． 若函数yf(x)的图象经过点0,1，求函数yf(x4)的反函数的图象经过的定点的坐标。

2． 已知fx2x11,求f1．

4x33213．已知函数yf(x)在定义域,0上存在反函数，且fx1x2x，求f1 ．

2x21(x0)

4． 求函数y的反函数。

2x1(x0)

六．作业： 补充：

1． 若函数yf(x)的图象经过点0,1，求函数yf(x4)的反函数的图象经过的定点的坐标。

2． 已知fx2x11,求f1．

4x33213．已知函数yf(x)在定义域,0上存在反函数，且fx1x2x，求f1 ．

2x21(x0)

4． 求函数y的反函数。

2x1(x0)反函数（3）

3）

反函数（