高考数学复习点拨 判断方程表示的图形_高考数学圆的方程复习

高考数学复习点拨 判断方程表示的图形由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高考数学圆的方程复习”。

如何判断方程表示的图形

在实际解题中，有时判断给出方程的图形，如果是二元二次方程，虽然有点类似圆的一般式方程，实质上不为圆的方程，要想准确把握方程表示的图形，需进一步加深理解定义与概念。本文揭示圆与二元二次方程的关系。进一步明确方程与图形之间的关系。

一、二元二次方程表示圆的方程的特点

在二元二次方程x2y2DxEyF0中，D、E、F为常数，通过配方法得

D2E2D2E24F(x)(y)

224（1）当DE4F0时，方程表示以(径的圆；

（2）当DE4F0时，方程表示点(2222DE1,)为圆心，D2E24F为半 22222DE,)； 22（3）当DE4F0时，方程无实数解，不表示任何图形。

可见，若所给二元二次方程表示圆必须满足：

（1）x2,y2项的系数相等且不为零；（2）没有xy项；（3）DE4F0.二、结论应用

例

1、方程2x22y24x6y1表示的几何图形是（）

A、圆 B、直线 C、点 D、不表示任何图形

22解：将方程2x2y4x6y1化为xy2x3y222210，则 211D2,E3,F，计算得D2E24F22324()150，所以方程表22示圆，选A.例

2、讨论方程xy4x2my80所表示的曲线。

分析：从方程形式看它是一个圆的方程（A＝C，B＝0），但还不一定就是圆。解：将xy4x2my80配方得(x2)(ym)m4.（1）当m40，即m2时，原方程表示以（－2，－m）为圆心，22222222m24为半径的圆。

（2）当m40，即m2时，原方程表示点（－2，－2）或（－2，2）（3）当m40，即2m2时，原方程不表示任何曲线。

点评：遇到字母时要对其值进行讨论：主要讨论圆心坐标和坐标公式，要掌握通过配

用心

爱心

专心 22方求圆心和半径的方法，注意二元二次方程表示圆的必要条件。

例

3、如果方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490表示一个圆，求：（1）t的取值范围；（2）该圆半径r的取值范围。

解：（1）方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490表示一个圆需有：

D2E24F4(t3)24(14t2)24(16t49)0，即7t26t10，所以1t1.72D2E24F（2）该圆的半径r满足：r(t3)2(14t2)2(16t49)7t6t17(t)23721616472，所以r(0,]，所以r(0,].77722点评：含有参数的二元二次方程，并不一定表示圆，只有当DE4F0时才表示圆，即可通过不等式DE4F0求出参数的范围，此题中利用了函数方程的思想求半径r的取值范围。

例

4、已知曲线C：x2y24mx2my200，证明：当m2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上。

证明：因为D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，所以

22D2E24F16m24m280m8020(m2)2，又因为m2，2所以(m2)0，所以DE4F0，曲线C是一个圆，设圆心坐标为（x，y），22则由x2m，消去m得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上。

ym点评：利用结论求得方程表示的曲线需要满足的条件，再利用参数法求得轨迹方程。

用心

爱心

专心