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对一道数学习题的研究性学习
题目：如图1，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点 A1的正上方有一个光源A，AA1与球相切，AA1＝6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（）
A． B． C． D．
一、直观感知――定性
在完整、合理地解答这个题目前，首先要解决几个认知上的问题，对整个几何体能够定性．
问题1：如图2，球的两条切线AA1，AA2在球上的两个切点D，E的连线DE是否为球的直径？
问题解决：从该几何体的正视图来看，切点D，E的连线DE显然不是球的直径．
问题2：A与球心O1及椭圆中心O三点是否共线？
问题解决：如图2，这个问题可以通过计算解决，由球的半径为2知，A1D＝A1N，故AD＝AE＝4，假设A2N＝x，在Rt△AA1A2中，有62+（2+x）2＝（4+x）2，求得x=6，故椭圆的长轴为8，即A1A2=8，可求得ON=2，所以，AO21=AD2+DO21=42+22=20，O1O2=O1N2+ON2=22+22
=8，AO2=A1O2+AA21=42+62=52，即AO1=2，O1O=2，AO=2，而AO1+O1O≠AO，故三点不共线．
问题3：球的两条切线AB1，AB2与球的两个切点的连线是否为球的直径？
问题解决：这是解决该题的关键，往往会有这样的考虑，那么从A出发与B1，B2的连线也是从球最宽的地方（直径）切过来的．事实上，在图2上可以观察得，切线AB1，AB2与球的两个切点在AB1，AB2上，则必在△AB1B2所在的平面内，结合问题2可知不可能通过球心O1．
二、操作验证――定量
1.解决――球切线的特性
解法一：如图2，由问题2的解决知椭圆的长轴为8，即A1A2＝8，假设椭圆短轴为2b，则OB2＝b，在△MAA1中，因为O1N＝2，AA1＝6，故＝＝，故MN＝1，因此AM＝＝3，B2M＝，AB2＝，又由球的切线性质知，∠A1AO1＝∠B2AO1，而cos∠A1AO1＝，cos∠B2AO1=＝，求得b2＝12，又在椭圆中c2＝a2-b2＝4，所以e===．
点评：这个解法牢牢抓住了过球外一点向球作切线，切线段长相等，从AD=AE到∠A1AO1＝∠B2AO1两个解题的关键点都用到了这一结论．
2.提升――空间向量
解法二：同解法一求得A1A2=8，如图3，建立空间直角坐标系，假设椭圆短轴为2b，A（0，0，6），O1（0，2，2），B2（b，4，0），所以＝（0，2，-4），＝（b，4，-6），cos∠O1AB2＝＝＝，由球的切线性质知∠A1AO1＝∠B2AO1，而cos∠A1AO1=，＝，故b2=12，在椭圆中c2=a2-b2=4，∴ e===．
点评：该解法虽然利用数形结合，用空间向量解决立体几何问题，但解决问题的关键还是过球外一点向球作切线，切线段长相等．
3.突破――三视图法
解法三：如图4，左侧为该几何体的正视图，右侧为该几何体的左视图，在正视图中，AD＝AE＝4，A1D＝A1N＝2，A2N＝A2E＝x，故62+（2+x）2＝（4+x）2，求得x＝6，故椭圆的长轴为8，即a＝4，在左视图由圆切线的性质知，在Rt△APO1中，AP===2，由△APO1∽△AOB1，知＝，即＝，∴ OB1＝2＝b，在椭圆中c2＝a2-b2＝4，∴ e===．
点评：这个解法源于在定性过程中对问题1的思考，问题1的解决用到了几何体的三视图．事实上，三视图的教学过程中要重视三视图对认知几何体的作用．
三、抽象归纳――回归“本源”
这个习题来源于哪个数学问题？有没有更一般的结论？能不能用我们研究的方法推广出结论呢？翻开人教版高中数学选修2-1，在第43页我们欣喜地找到了答案．
如图5，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆． 那么，为什么截口曲线是椭圆呢？
历史上，许多人从纯几何角度出发对这个问题进行过研究，其中数学家Germinal Dandelin的方法非常巧妙．
在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切． 两个球分别与截面相切于点E，F，在截面曲线上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C，B． 由球和圆的几何性质，可以知道AE=AC，AF＝AB，于是AE+AF＝AB+AC＝BC．
由切点B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值． 这样，截口曲线上任意一点A到两个定点E，F的距离之和为常数．
由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆．
进一步，通过对习题的探究，我们发现球与截面的交点正好是椭圆的焦点． 下面用归纳推理的思想方法证明这个结论．
如图6，一个半径为r的球放在桌面上，桌面上的一点A1的正上方有一个光源A，AA1与球相切，切点为N，球在桌面上的投影是一个椭圆（长轴为2a，短轴为2b），求证：切点N为椭圆的焦点．
证明：如图7，左视图左侧为该几何体的正视图，右侧正视图为该几何体的左视图，在正视图中，假设ON=x，AD=y． 故AD=AE=y，A1D＝A1N＝a-x，A2N＝A2E＝a+x，故（a-x+y）2+（2a）2＝（y+a+x）2，求得y=，在左视图由切线的性质知，在Rt△APO1中，AP2＝AO21-O1P2＝（）2-（a-x）2，由△APO1∽△AOB1，知＝，等价于＝，即＝，解得x2=a2-b2，即切点N为椭圆的焦点．
四、题后思考――几点感想
1． “直观感知、操作验证、抽象归纳”是我们认知新的数学问题的必经之路
《普通高中数学课程标准（实验）》中强调的人们在学习数学运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，笔者在实际教学过程中往往先通过大量的具体实例引导学生观察发现，再让学生独立操作，自己动手，那样的体验才更加真实，最后让学生在感性认识的基础上抽象概括出相关的知识内容． 这样的教学才能更好地提高学生的数学思维能力，增强学生学习数学的兴趣．
2． 要重视教材的作用
随着新课程标准的实施和新教材的试用，我们发现新教材中去掉了旧教材中部分知识板块，调整了部分知识结构，新增了很多知识内容，同时渗透了研究性学习这一新的思维学习模式．与旧教材相比，新教材样式设计新颖，增设了旧教材不具有的栏目，如：章头图、阅读材料、研究性学习课题等，这些内容的加入渗透着编者对教材的理解，充分地利用这些资源能够让读者提升一个层次．
3． 体现学习“推理与证明”的重要性
新课程加入了推理与证明这一章节，许多学生甚至是教师都觉得这一章节可学可不学，新的知识点很少，碰到的数学问题也都是其他已学的数学知识． 笔者认为这一章节的学习恰恰是我们认识数学的来源、理解数学的作用、增强学习数学的兴趣的很好的途径． 我们要善于用合情推理提出问题、发现问题，用演绎推理解决问题，让数学更好地服务于生活．
