选修22§2.2.1综合法与分析法_高中数学选修分析法

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人教版数学选修精品——推理与证明

§2.2.1直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为b2c22bc,a0,所以a(b2c2)2abc,因为ca2ac,b0,所以b(ca)2abc.因此, a(bc)b(ca)4abc.P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

1.综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式用综合法证明不等式的逻辑关系是： 2222222

2PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公例

1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C;A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之

2间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=． ⑧

由①②，得B=.3由a, b，c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及③，可得

bac2accosBacac.22222

再由④，得a2c2acac.2(ac)0,因此ac.从而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=.3

所以△ABC为等边三角形．

解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

2.分析法

证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3······直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么用分析法证明不等式的逻辑关系是：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的思维特点是：分析法的书写格式：

要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

„„

这只需要证明命题A而已知A为真，故命题B例

3、求证3

证明：因为3只需证明(3725 7和25都是正数，所以为了证明37)(25)22725 展开得1022120

即22110,212

5因为2125成立，所以

(3227)(25)成立 即证明了3725

说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

这只需要证明命题A为真

而已知A为真，故B必真

在本例中，如果我们从“21

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特

‘‘点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P．若

由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

例4 已知,k(kZ)，且

2sincos2sin①

sincossin②2

求证：1tan

1tan221tan2(1tan)22。

分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系

2222(sincos)2sincos1，于是，由 ①一2×② 得4sin2sin1．把

4sin2sin1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：22

统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为cossin

cossin222212

12(cossin),再与4sin2sin1比较，发现只要把c(os222222sin中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．)2证明：因为(sincos)2sincos1，所以将 ① ② 代入，可得 4sin2sin1.③ 2

另一方面，要证

sin21tan1tan2221tan2(1tan)22 1

即证

12sin

cos

22212(1sincossincos1

2222，)222即证cossin

即证12sin

22(cossin)，2122(12sin)，即证4sin2sin1。

由于上式与③相同，于是问题得证。

课堂小结：直接证明的两种方法-综合法和分析法

课后作业：第91页A组 2,3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

首先，介绍为什么要引入证明，以及经常用的两种证明方法，主要介绍的是直接证明的两种方法。然后具体讲解综合法和分析法并举例说明，强调分析法的步骤以及两者的区别。最后举一个两种方法综合使用的例子

例

1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

222222a(bc)b(ca)c(ab)6abc

证明：∵b2c2≥2bc,a＞0,∴a(b2c2)≥2abc①

同理 b(c2a2)≥2abc②

c(ab)≥2abc③ 2

2因为a，b，c不全相等，所以b2c2≥2bc, c2a2≥2ca, a2b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

例

2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)

2证明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比数列，∴b2ac

又∵a，b，c都是正数，所以0b

∴acb

∴2(abbcac)2(abbcb)2b(acb)0

∴abc(abc)

2422例

3、若实数x1，求证：3(1xx)(1xx).22222ac≤ac2ac

证明：采用差值比较法：

3(1xx)(1xx)242

2=33x3x1xx2x2x2x

43=2(xxx1)

=2(x1)(xx1)=2(x1)[(x224242322

12)

2234].1

2)2x1,从而(x1)0,且(x

4]0,22340, ∴2(x1)[(x24212)2∴3(1xx)(1xx).例

4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2)

分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

222222222222即证ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd

即证2abcd≤b2c2+a2d

22即证0≤(bc-ad)

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法

***22222证法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比较法

证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd

例

5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a-2ab+b＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322即a+b＞ab+ab，由此命题得证.2222