2.2.1 综合法和分析法_221综合法和分析法

2.2.1 综合法和分析法由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“221综合法和分析法”。

2．2 直接证明与间接证明

2．2.1 综合法和分析法

整体设计

教材分析

在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚．本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．

课时分配

2课时．第1课时综合法，第2课时分析法．

第1课时

教学目标

1．知识与技能目标

(1)理解综合法证明的概念；

(2)能熟练地运用综合法证明数学问题．

2．过程与方法目标

(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；

(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图．

3．情感、态度与价值观

(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；

(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯．

重点难点

重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；

(2)了解综合法的思考过程、特点．

难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；

(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容．

教学过程

引入新课

证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．

提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明．

请同学们证明：

已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流．

活动结果：(学生板书证明过程)

证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.引导学生应用不等式证明以上问题，体会综合法证明的思考过程，为引出综合法的定义做准备．

探究新知

提出问题：请同学们回顾，你证明这道题的思维过程．

活动设计：学生自由发言．

教师活动：整理学生发言，得到证明上题的思维过程．

首先，分析待证不等式的特点：不等式右端是3个数a，b，c乘积的四倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积，据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式两端出现相同的形式；

其次，寻找转化的依据及证明中要用的知识，本题应用不等式x2＋y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据；

最后，给出证明即可．

(在总结证明上题思维过程的同时，向学生灌输解决问题先粗后细，先框架，后具体的思想)

这样，我们可以把上题的证明过程概括为：从已知条件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性质出发，通过推理得出结论成立．

活动结果：

综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

设计意图

让学生先表达综合法证明的特点，但他们对综合法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出综合法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到综合法的定义．

运用新知

例1在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

思路分析：本题首先把已知条件进行语言转换，即将A，B，C成等差数列转化为2B＝A＋C，a，b，c成等比数列转化为b2＝ac，接着把隐含条件显性化，将A，B，C为△ABC三个内角明确表示为A＋B＋C＝π，然后寻找条件与结论的联系；利用余弦定理可以把边和角联系起来，建立边和角的关系，进而判断三角形的形状．这样，就可以尝试直接从已知条件和余弦定理出发，运用综合法来推导出结论．

证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①

由A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②

π由①②，得B＝，③

3由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④

由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤

π由②③⑤，得A＝B＝C＝△ABC为等边三角形． 3

点评：在证明数学命题时，经常要把已知条件进行语言转换，把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要把命题中的隐含条件显性化，然后寻找条件与结论的联系，最后运用综合法来推导结论．

bn1an111设a＋b>0，n为偶数，证明＋.abab－－

bn1an111an－bnan1－bn1证明：＝，ababab－－－－

(1)当a>0，b>0时，(an－bn)(an1－bn1)≥0，(ab)n>0，－－

an－bnan1－bn1bn1an111所以≥0，故＋ababab－－－－

(2)当ab为负值时，不妨设a>0，b0，所以a>|b|.又n是偶数，所以(an－b)(ann－1－bn－1an－bnan1－bn1bn1an111)>0.又(ab)>0，故>0，即＋.ababab－－－－n

bn1an111综合(1)(2)可知，≥ abab－－

理解新知

(1)由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”．

(2)框图表示

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．

2如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．

证明SO⊥平面ABC.思路分析：从已有的定义、定理、公理出发，推出要证的结论．

证明：由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝2SA，且AO⊥BC.22，从而OA2＋SO2＝

SA2.2又因为△SBC与△ABC全等，故有SO⊥BC，且SO＝

所以△SOA为直角三角形，所以SO⊥AO.又AO∩BO＝O，所以SO⊥平面ABC.点评：让学生进一步熟悉综合法证明的思维过程与特点，学习综合法证明的规范证明过

程，同时熟悉综合法证明的操作流程图．

巩固练习

11＋已知a，b，c∈R，求证：(a＋b＋c)()≥4.ab＋c

a＋b＋ca＋b＋cb＋c11a＋证明：由于a，b，c∈R，则(a＋b＋c)(＋＝＋＝1＋＋1＋ab＋caab＋cb＋c

b＋ca＝2＋(≥2＋ab＋cb＋ca4.ab＋c

变练演编

＋已知x，y，z∈R，a，b，c∈R，b＋c2c＋a2a＋b2求证：＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

思路分析：抓住要证明式子的结构特征，合理运用均值不等式，用综合法证明上述不等式．

b＋c2c＋a2a＋b2b2c2c2a＋证明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R，则＋y＋＝＋＋＋abcaabbabbacacby2＋2＋2＝(x22)＋(x2＋z2)＋(2＋z2)≥2xy＋2xz＋2yz＝2(xy＋xz＋yz)，ccabacbc

b＋c2c＋a2a＋b2所以有＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

点评：学会结合条件及所证的结论，寻找到解决问题所需的知识，充分体会综合法证明不等式的方法，规范解题步骤．

达标检测

1．综合法：(1)一般的，利用____________，经过____________最后________，这种证明方法叫做综合法．

2．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，则下列各式中，一定正确的是()

A．ac≥bB．ab≥c

C．bc≥aD．ab≤c

答案：1.已知条件和某些数学定义，公理，定理 一系列的推理论证 推导出证明的结论成立

2．B

课堂小结

1．综合法证明是证明题中常用的方法．从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论．

2．综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

3．综合法可用于证明与函数、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题．

布置作业

课本本节练习1、3.补充练习

基础练习

1．△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosA＝cosC，求证：△ABC为等边三角形．

证明：由3b＝3asinB3sinB＝23sinAsinBsinA3π2πA＝.23

3π由cosA＝cosCA＝C，且A＋B＋C＝π，所以A＝C＝B.所以△ABC为等边三角3

形．

拓展练习

22．已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，f(x)的导函数是f′(x)．对任意两个不相等的正数x

fx1＋fx2x1＋x2x1、x2，证明当a≤0时，>f(． 2

22证明：由f(x)＝x2＋＋alnx，x

得fx1＋fx212211a(x1＋x2)＋(＋＋1＋lnx2)22x1x22

x1＋x212＝(x2＋x)＋＋alnx1x2.221x1x2x1＋x2x1＋x22x1＋x24＝()＋aln，222x1＋x2

∵x1≠x2且都为正数，x1＋x2212122有(x2＋x)>[(x＋x)＋2xx]＝(.① 212214122

2又(x1＋x2)2＝(x21＋x2)＋2x1x2>4x1x2，∴x1＋x24.② x1x2x1＋x2

x1＋x2x1＋x2∵x1x2

x1＋x2∵a≤0，∴alnx1x2>aln.③ 2

fx1＋fx2x1＋x2由①、②、③得． 2

2设计说明

本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法——综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力；并能用综合法证明数列、几何等有关内容．本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路，与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力．

备课资料

例1已知a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1，求证：a＋bc3.思路分析：此题是应用综合法证明不等式问题，需要用到不等式中的均值不等式的知识来进行证明．

证明：∵a，b，c∈R，∴a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac.∴2(a＋b＋c)≥ab＋bcac)．∴a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3(a＋b＋c)＝3.∴(a＋b＋c)2≤3.abc3.点评：运用综合法证明不等式，关键是要由已知条件寻找到正确的所需知识，进而来证＋

明问题．

例2设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；

3(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求证：

21{为等差数列． bn

思路分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，恰当处理递推关系是关键．

证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，an＋12m两式相减得(3＋m)an＋1＝2man，由于m≠－3，∴.∴{an}是等比数列． anm＋

3(2)b1＝a1，q＝f(m)＝2m332bn－1∴n∈N，n≥2时，bn＝f(bn－1)＝×.22bn－1＋3m＋3

11111∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴＝.∴{}是首项为1，公差为 bnbn－13bn3

点评：本题主要考查利用综合法和数列的定义，合理处理递推关系的数列证明问题． 例3在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.思路分析：此题事实上比较简单，但学生入手却有些不知所措．对已知条件(1)a2－c2＝2b左侧是二次的，右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件

(2)sinAcosC＝3cosAsinC，过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口．

解：由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC.b由正弦定理，得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.② c

由①，②解得b＝4.点评：在解题中应注意总结，提高对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力．

(设计者：莫静波)