(no.1)高中数学教学论文 柯西不等式在解题中的几点应用 新人教版_高中数学柯西不等式

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柯西不等式在解题中的几点应用

摘要：本文利用怎样运用柯西不等式解题的技巧，介绍了柯西不等式在解等式、不等式、极值、三角问题等方面的应用。

关键词：柯西不等式、技巧、应用

一、引言

人民教育出版社高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P、15练习第2题）： 求证：ac+bda2b2*cd22这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。

证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立； 假设a+b0 且c+dacbda222220,则

acbda2b2*acc2d2

2b2*bdcd2=a2c2

cd2ba22*d222a2b222*d2=a2b2*cc2dba222b*c2

 d221ac2222abcd2221bd2a2b22cd2=1 故ac+bdacbdacbda2b2*c2d2

(1)式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。

柯西不等式的一般形式为：

对任意的实数a1,a2,,an及b1,b2,,bn有

nnn22aibiaibi,i1ii1i12

(2)nnn或i1aibii1ai*2bi12i,(3)其中等号当且仅当a1b1a2b2anbn时成立（当bk0时，认为ak0,1kn).柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。

一、柯西不等式在解题中的应用

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百度提升自我1、利用柯西不等式证明恒等式 利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。

例、已知a1b2b1a21,求证：a2b21。

证明：由柯西不等式，得

a1b2b1a2a21a22b21b21

当且仅当b1a21ba2时，上式取等号，abab221a21b,21a221b,1。于是 ab22、利用柯西不等式解无理方程（或方程组）用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。

例：解方程

x21x2x1x1x22121x12221xx1。

解：x2x11x122

= x21x12x1

由柯西不等式知

x2x1x21x12x12

x1xx1x即

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百度提升自我x21x21(x1)2(x1)22,x(x1)

1x21x12(x1)21(x1)2

2x(x1)1x(x1)2当上式取等号时有x(x1)成立，即

x2x10（无实根）或xx10，即

x125，经检验，原方程的根为

x125

用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。

例：解方程组

xyz9xw6x4

2x(y2z2w)w(y222w)4862解：原方程组可化为

xyz9xw6(x2

z)(x22y2w)4862运用柯西不等式得

(x2y2z)292327, xw2262218

两式相乘，得

x2y2z2x2w2486

当且仅当x=y=z=w=3时取等号。故原方程组的解为x=y=z=w=3.3、柯西不等式证明不等式。

很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。例：设a,b,c为正数且不相等到，求证：

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百度提升自我2ab2bc2ca9abc

这两个常数进行巧拆，9=1112分析：我们利用9与2，2abcabbcca

这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。证明

：a111bcabbccaa111bbccabccaabab221bc22ca1abca211bc221ca2 ab2abbc1bcca11192ab2bc2ca9abc a,b,c各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。

但是我们只要改变一下多项式的形态结有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。

例：设a1a2anan1,求证：

1a1a21a2a31anan11an1a10

分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

a1111an11,a2a3anan1a1a2证明：为了运用柯西不等式，我们将a1an1写成a1an1a1a2a2a3anan1于是

a1n2111a2a2a3anan1aaa2a3anan1211. 用心 爱心 专心 4

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百度提升自我即111a1an1aaa2a3anan1211a1a21a1a21,1a2a311anan111a1an11故a2a3anan1an1a10.我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

例：求证：x1x2证明：22y1y2222x12y1x2y222.x1x222y1y222x1x2y1y22222x21x2y1y2

222由柯西不等式得

x21x2y1y2x1y1x2y22222

其中等号当且仅当x1ky1，x2ky2 时成立。

x21x222y221y222x1y1x2y2

2x1x2y12y1y22x21x22y21y222x2.1y1x2y2 x122x2y2222x1x2y1y2x1y12x2y2其中等号当且仅当x1ky1，x2ky2 时成立。

4、用柯西不等式证明条件不等式

n2n2n柯西不等式中有三个因式ai，bi，aibi而一般题目中只有一个或两个

i1i1i1因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），bi 具有广泛的选择余地，这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量ai，任意两个元素 ai，aj（或bi，bj）的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。

例：已知a,bR，a+b=1,x1,x2R, 求证：ax1bx2bx1ax2x1x2

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百度提升自我分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。

证明：ax1bx2bx1ax2 =ax1bx2ax2bx1 ax1x2b2x1x22

=abx1x2x1x2。例、设x1,x2,,xnR,求证：

x12x2xx3xxnxn2x1x1x2xn

（1984年全国高中数学联赛题）

证明：在不等式的左端嵌乘以因式x2x3xnx1，也即嵌以因式

x1x2xn，由柯西不等式，得 x12x2xx3xxnxn2x1(x2x3xnx1)

x1x2x2x322222xxn1nxxn1x2x32xn2x12xnxnx1x1

x1x2x2x2x32x3xn1xnx1x2xn,于是x12x2xx3xxnxn2x1x1x2xn.5、利用柯西不等式求函数的极值

有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。

例 设非负实数1,2n满足12n1,求

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百度提升自我112_n11`23nn211的最小值。（198

2n1年西德数学奥林匹克度题）

解：易验证

112+1=

n1(12n)21221

同理可得

1113+1=

n222,,12nn1+1=

22n

令y1122_n11`23nn211

n1故yn21222+22n

为了利用柯西不等式，注意到

(2a1)(2a2)(2an)2n(a1a2an)2n1,121122(2n1)(+12n)

=(2a1)(2a2)(2an)(121122+12n)

2a1yn2n12a122a22n212a2n2n1.2an12an2n22n1,y2n1n1n等号当且公当a1a2an时成立，从而y有最小值

nn2n1

例 设x1,x2,,xn都是正数，n2,且xi1,求证：

i1nn i1xi1xii1xi.（1989年全国数学冬令营试题）

n1证明：令yi1xi(i1,2,n),由柯西不等式，得

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百度提升自我nnn(i1xi)2ni1xin, 即 i1xin.nnn同理，得(i1nyi)2ni1yini1(1xi)n(n1),即 yii1n(n1).又由柯西不等式，得

nni1nyii11yi2n(i14yi14)2n

2yi故i11yin1nyin2,i1n(n1)从而

ni1xi1xinnni11yiyini11yini1yi n(n1)n

n1nn1i1xi.n16，利用柯西不等式解三角问题。

三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。

例 在ABC中，求证：

sinAsinB5sinC1982201(2013)40

证明：sinAsinB5sinC

2sin2cos2cosAB2C2C2(coscosAB22C210sinC2)C2cosC2AB5sin).(15sin当且仅当A=B时等号成立。

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百度提升自我令ycosx(15sinx)(0x)2，于是引进参t0,求

y2cos2x(15sinx)2的最值。

由柯西不等式，2y2cos2x15sinx225cos2x15sinx=25cosx1t2tsinx 5cos225x12t22t2sinxt25

25t21cos2x2xt2t2sin.abab2又由平均值不等式4,得

2222y225t1cosxtsin2xt22 =25t21t2124t2.（1）

当且仅当cos2x=t2sin2x时等号成立。例、已知a,b为正常数，且0

3a23b23a23b2sin2xcos2x

3asinx3bcosx2等号成立的当且仅当sinxcosx3a3b时；

即 xarctg3ab 时，于是

3a23b23asinx3bcosx

再由柯西不等式，得

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百度提升自我3a23b2ba cosxsinxbabcosx sinxcosx 3asinx3 6a23sinx2asinx6bcosxbcosx2 ab3.32等号成立也是当且仅当xarctgab时。

3a 从而ysinxcosxab232b32.3 于是y的最小值是asinxcosxab232b32. 在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。

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