权方和不等式_权方和不等式求最值

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权方和不等式的一般形式：设ai,biR,(i1,2,,n),则有

aipnaiqp1i1nqqni1bibii1(*)其中pq1,q0.np,据我所知，这个一般形式在十年前已经有了，但公开刊物及竞赛教程里只出现过它的一些特殊情形．下面的证明是我在听wuys老师讲课时记录下来的． 证明(i)先证pq1的情形（参见黑暗法师的证明，此处略）；(ii)再证pq1的情形．

注意到p1，利用(i)的结论，并由幂平均不等式得 q1nai1bi1npiqiapq1iq1bqinai1qnbii1pq1iq11nqp1naini1qnbii1nq1n1naini1qnbii1pq1q1aiqp1i1n.qnbii1p

因此，不等式(*)成立．

附注：先证特殊情形，再利用特殊情形推广到一般情形是一种常用的手段，记得当时wuys老师曾经用这一手段给出过多个指数推广问题的证明，本题是其中之一．