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2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
理科数学
一、选择题 1.等于（）A．－－i
B．－＋I
C．－－i
D．－＋i 解析
2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9
B．8
C．5
D．4 解析 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.3．函数f(x)＝的图象大致为（）＝＝＝
＝－＋i.故选D.A.B.C.D.解析 ∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
＝e－＞0，排除D选项． 当x＝1时，f(1)＝又e＞2，∴＜，∴e－＞2，排除C选项．故选B.4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于（）A．4
B．3
C．2
D．0 解析 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.5．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y＝±x
B．y＝±x C．y＝±x
D．y＝±x
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.又∵离心率＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0)．
∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.故选A.6．在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于（）A.4B.C.D.2
解析 ∵cos＝，∴cosC＝2cos2－1＝2×
－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝＝4.故选A.7．为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（）
A．i＝i＋1
B．i＝i＋2
C．i＝i＋3
D．i＝i＋4 解析 把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.因为N＝N＋，由上表知i是从1到3再到5，一直到101，所以i＝i＋2.故选B.8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A.B.C.D.解析 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为＝.故选C.9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝为（）A.B.C.D.解析 方法一 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值
＝，B′B1＝＝2，DB＝＝.在△DB′B1中，由余弦定理，得 DB′2＝B′＋即5＝4＋5－2×2－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝.故选C.方法二 如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，∴∴|
10．若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是（）A.B.C.D．π)，B1(1,1，)，)，＝(1,1，)，＝(－1,0，·＝－1×1＋0×1＋(|＝，∴cos〈)2＝2，〉＝
＝
＝.故选C.|＝2，|解析 f(x)＝cos x－sin x＝－＝－sin，当x∈，即x－∈时，y＝sinf(x)＝－单调递增，sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]上是减函数，∴[－a，a]⊆，∴0＜a≤，∴a的最大值为.故选A.11．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于（）A．－50 B．0 C．2 D．50 解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数． 由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.12．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率 为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A.B.C.D.解析 如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，＝
＝，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝解得a＝4，所以e＝＝.故选D.二、填空题
13．曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． 解析 ∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝
.令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.14．若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)．目标函数x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值．
由 得点C(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.15．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.解析 ∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，∴sin(α＋β)＝－.16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
解析 如图，∵SA与底面所成角为45°，∴△SAO为等腰直角三角形． 设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝在△SAB中，cos∠ASB＝，∴sin∠ASB＝，r)2·＝
5，r.∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB＝(解得r＝2∴SA＝，r＝4，即母线长l＝4，∴S圆锥侧＝πr·l＝π×2
三、解答题 ×4＝40π.17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值－16.18．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 ＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ⅱ)从(1)的计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而由模型②得到的预测值256.5亿元的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
19．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝..所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝由题意知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.因此l的方程为x－y－1＝0.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.20.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．(1)证明 因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC.(2)解 由(1)知OP，OB，OC两两垂直，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．
由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，＝(0,2,2)．
由(1)知平面PAC的一个法向量为＝(2,0,0)．
设M(a,2－a,0)(0≤a≤2)，则
＝(a,4－a,0)．
设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)． 由·n＝0，·n＝0，得 可取y＝a，得平面PAM的一个法向量为n＝（(a－4)，a，－a)，所以cos〈，n〉＝
.由已知可得|cos〈，n〉|＝cos 30°＝，所以＝，解得a＝－4(舍去)或a＝.所以n＝.又＝(0,2，－2)，所以cos〈，n〉＝.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.21．已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a.(1)证明 当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)·e－x＝－(x－1)2e－x.当x≠1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.(2)解 设函数h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点；(ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0,2)时，h′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)上的最小值． ①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，＋∞)上没有零点． ②若h(2)＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点． ③若h(2)＜0，即a＞，因为h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点； 由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以h(4a)＝1－一个零点．
因此h(x)在(0，＋∞)上有两个零点．
综上，当f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝.22．选修4－4：坐标系与参数方程
＝1－
＞1－
＝1－＞0，故h(x)在(2,4a)上有 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． 解(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－
23．选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.解(1)当a＝1时，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，当且仅当x＋a与2－x同号时等号成立． 故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
