不等式练习题(带答案)_不等式测试题带答案

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不等式基本性质练习

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）１．若a>0, b >0,则(ab)（A．

21a1b)的最小值是

D．

4（）

B．22 C．42

2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 A．必要条件 C．充要条件

1a

1b

（）

1a

1b

B．充分条件 D．必要或充分条件

3．设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是

A．





1D．

1a1b



2（）

B．1 C．

1a



1b

2

4．已知a、b均大于1，且logaC·logbC=4，则下列各式中，一定正确的是

A．ac≥b 5．设a=2，b=7

A．a>b>c

B．ab≥c

3，c

6

（）

C．bc≥a D．ab≤c

（）

2，则a、b、c间的大小关系是

B．b>a>c

ambm

C．b>c>a

ab

D．a>c>b

（）

6．已知a、b、m为正实数，则不等式

A．当a

B．当a> b时成立D．一定成立

（）

7．设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是

A．P≥Q

ab

B．P≤Q

ab

C．P>Q

ab

D． P

ab

18．已知a> b且a+ b

A．

1

（）

B． 1 C． 1 D．

9．设a、b为正实数，P=aabb，Ｑ=abba，则P、Q的大小关系是

A．P≥Q

B．P≤Q

C．P=Q

（）

D．不能确定

10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以

速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是 A．甲先到

B．乙先到

C．甲乙同时到

（）

D．不能确定

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．12．已知a>1，a=100，则lg(ab)13．使不等式a>b1，lg(a－b)>0，2>

2b

2lgb

a

ab-

1同时成立的a、b、1的大小关系是．

14．建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为

120元和80元．

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．若a、b、c都是正数，且a+b+c=1，求证：(1–a)(1–b)(1–c)≥8abc．（12分）

16．设a0,a1,t0,试比较

17．已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2（12分）

18．已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd．（12分）

12log

a

t与log

t

1a的大小．（12分）

19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm，画面的宽与高的比为λ（λ

留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？（14分）

20．数列{xn}由下列条件确定：x1a0,xn1

2(xn

axn),nN．

（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥a；（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥xn1．（14分）

参考答案

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．x≥912．2213．a>b>114．1760

三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）

[证明]：因为a、b、c都是正数，且a+b+c=1，所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)(a+c)(a+b)≥2

16．（12分）[解析 ]： log

t1

a

·2·2ab=8abc．

log

a

tlog

a

t1

2t

t0,t12t（当且仅当t=1时时等号成立）

t12tt12t

1

（1）当t=1时，log

t1

a

t1

log

a

t（2）当t1时，t1

12

1，若a1,则log

a

2t

a

0,log

a

a

log12

a

t t

若0a1,则log

17．（12分）

t12t

0,log

t12

log

a

[证明]：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，b

又∵a，b，c都是正数，所以0b

ac

ac≤acac∴acb

∴2(abbcac)2(abbcb2)2b(acb)0 ∴a2b2c2(abc)2

18．（12分）

[证法一]：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数∴要证：xy≥ac + bd

只需证：(xy)2≥(ac + bd)2即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd

即：a2d2 + b2c2≥2abcd由基本不等式，显然成立∴xy≥ac + bd [证法二]：（综合法）xy =a2b2

cd

acbcadbd

(acbd)

22222222

≥a2c22abcdb2d2[证法三]：（三角代换法）

acbd

∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsin,b = xcos

y2 = c2 + d2c = ysin,d = ycos

∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos(  )≤xy 19．（14分）

[解析]：设画面高为x cm，宽为x cm 则x2=4840．

设纸张面积为S，有 S=（x +16）(x +10)= x 2+(16+10)x +160,S=5000+44(5).

当8



,即

4840

(1)时S取得最小值.88

88cm,宽：

此时，高：x



x

8855cm,答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小． 20．（14分）

（I）证明：由x1a0,及x

从而有x

axn

n1



a

(xn

axn),可归纳证明xn

0（没有证明过程不扣分）

a成立.n1



(xn)

xn

xn

a(aN).所以，当n2时,x

axn)

（II）证法一：当n2时,因为x

n

所以x

a

a0,xn1

(xn

n1

1axn

xn(xn)xn0,故当n2时,xnxn1成立.2xn2xn

2时,因为x

a0,xn1

12(xn

axn)

证法二：当n

所以xn1

xn



(xnxn

axn)

xna2x

n



xnxn

2n

1

故当n2时,xnxn1成立.