1.勾股定理_勾股定理1

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勾股定理

 勾股定理在西方称为毕达哥拉斯定理。（Pythagoras，约公元前575-500年）。

相传毕达哥拉斯发现这个定理后非常兴奋，宰了100头牛来庆祝，又称百牛定理。不过，毕达哥拉斯对定理的证明方式已经失传，在希腊，最早的严格证明是欧几里德（Euclid，约公元前330-275年）的《几何原本》中。

据统计，勾股定理有超过400种证明方法，是被证明最多的定理，列举几种如下：

1.西方古代数学——《几何原本》的证明

因为AB=AD，AF=AC，BAF和CAD都等于一个直角+CAB

F所以三角形ABF与三角形ADC完全相同。

它们三角形ABF是正方形ACGF的一半，三角形ADC是长方形ADLM的一半（等底等高）所以正方形ACGF和长方形ADLM的面积相等，同理，正方形BKHC和长方形BELM的面积相等，于是正方形ACGF与正方形BKHC的面积和等于正方形ABED的面积

GHCKAMB

这个证明具有较强的逻辑性，而且巧妙的运用了转化的思想，将；两个小正方形的面积，通过三角形转化到大三角形之中，是几何证明的一个经典。

DL中畢氏定理的證明E2.中国古代证法

这是汉代数学家赵君卿在注释《周髀算经》的时候所做的证明。周髀算经只是提出了（3,4,5）的关系。而赵君卿已经完成了证明。

大家看懂了么？这就是大名鼎鼎的弦图。

假如有一种外星文明光临了地球，假如他们的文明已经发展到可以证明勾股定理的程度，他们一样未必懂得“1+1=2”这个算式（因为他们不了解我们的符号体系），也不一定明白第一个证法的推理过程，但是他们一看见弦图，应该能明白我们在做什么，并且产生由衷的，数学上的亲切感。

图形，是一种直接的传达思想的方式，在我们的小学数学以及代数学习过程中，将不断贯穿数与形互相辉映的思想，例如数轴，例如函数与图像等等。

古希腊的毕达哥拉斯(约前575-前500)赵君卿的《周髀算经》注

3.印度证法：

(1)

这个证明是印度数学家巴斯卡拉（公元1114-1185年）所做。他只是画出图(1)，然后说“看！”

而后画出图(2)作为证明。这个图形也是弦图的一种，弦图可以说是勾股定理的精髓。

4.刘徽的青出朱入法

青出青入青青出朱入青入朱朱出(2)

5.梅文鼎的旋转法（弦图2）

FHCGEBA2D2

图示的两个正方形阴影代表a和b，以C为中心，将三角形ABC逆时针旋转90，再以E为中心，将三角形ADE旋转90度，恰好变成c。

6.代数证法：

在介绍代数证法之前，要先熟悉两个公式：

2(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2

关于这两个公式的理解，可以依照乘法分配律，也可以用如下图形：

aa2abbabb2

弦图（1）

aca-bb

1(ab)2ab4c2

2a22abb22abc2 a2b2c2

弦图（2）

baccab

1ab4c2(ab)2 22abc2a22abb2 a2b2c2

7.美国前总统的证法（半弦图1）

图示为直角梯形，各线段的长度标注如图。这是加菲尔德在1876年4月1日发表《新英格兰教育日记》上的证明，证法与弦图1一致，大家看懂了么？当时他是俄亥俄州的共和党议员。1881年，他当选为美国第20任总统。(不知道我们当前的或将来可能成为领导人的那一部分，是否有兴趣参与一些数学证明。)

8.勾股数

像(3,4,5)这样一组能作为直角三角形三边的正整数称为勾股数，如果这组数的最大公约数是1，就称为素勾股数(primitive Pythagorean triple)。在公元前1000多年前的古巴比伦泥板上，就有了勾股数的记录。常用的素勾股数：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（8,15,17）如（6,8,10），(15,20,25)也是常用的勾股数，但不是素勾股数。

9.素勾股数是无限的，费马大定理。

11202 32212 53222

74232 95242

……

2n1n2(n1)2

……

注意到每个奇数都能表示为两个相邻自然数的平方之差，其中有一些是特别的，例如954，就是354，即：345，那么(3,4,5)就构成一组素勾股数。奇数有无穷多个，其中的平方数也有无穷多个，所以素勾股数也是无穷多个。(因为两个相邻自然数是互质的，所以这种形式的三个数必定形成素勾股数)用字母来表示，就是abc有无穷多组整数解。在西方，满足此方程的并且最大公约数为1的三个数称为毕达哥拉斯三元组。这样的三元组有无限个。

显然，abc的整数解也有无限个，但是，如果把次数再增加1，abc就没有整数解。事实上，abc，当n是大于2的整数时，这个方程没有整数解（如果a,b,c的乘积不为零）。这就是数学上最著名的问题：费马大定理。

这个形式上非常简单的问题，经过350多年，许多天才数学家的努力，最终于1995年才完全证明。而且初次的证明大约有200页之长，世界上只有少数几个人才能完全看懂。

10.勾股定理的简单运用：

破竹问题：杨辉的《详解九章算术》(1261年)nnn33322222222222

弦图与分割

1.如图CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，上底AD=23，下底BC=35，求三角形ADE的面积.EADFBC

2.正方形ABCD外一点E，SBCE=48，SDCE=90，CE=12，求正方形ABCD的面积。

ADBCE

3.正方形ABCD中，CEDE，CE=3，DE=5，求ODE的面积。

ADOEBC

4.如图所示的正方形，面积为100cm2，AB=2cm，CD=3cm，那么阴影面积是多少？

C3cmDAB2cm