高考数学之代数综合论证_高考数学代数证明

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八 代数综合论证

代数论证题是指高考试题中考查学生代数推理论证能力及综合运用知识的能力的试题，是熟悉高考能力考查中层次最高的题型，一般没有图形的帮助，比几何论证更抽象，思维能力、逻辑论证要求更高。综观几年来的高考试题，代数论证题集中在数列、函数与导数结合的内容上，改变了以往以二次函数、抽象函数为主的特点。

数列论证题对抽象思维、逻辑推理能力要求较高，解答数列的论证题，须对已知条件作深入细致分析判断，熟悉解数列题的常用方法，探求解题方向和解题途径。不仅要熟练掌握数列的有关知识，还必须善于观察、分析、综合，会把合情推理与演绎推理有机结合。

数列论证题大多与数列的递推公式相关（或为Sn与an的关系），大致分为以下几类：（1）寻求递推式；（2）求通项；（3）证明不等式；（4）论证其他性质；（5）比较大小。

涉及函数内容的代数论证题多与导数相结合，此类试题主要运用导数研究函数的单调性，并由此证明不等式成立，或由涉及参数的不等式在指定区间成立求参数，或求参数的范围。

1、由递推式求通项式

由数列递推公式求通项公式是常见的题型，其解法常用的是：以递推公式为基础，构造一个新的数列，使其构成一个特殊的数列（如等差或等比），先求出新数列的通项公式，再得出原数列通项公式；或用累加（累乘），通过运算，简化递推关系式，在求通项。

当条件为非线性的递推关系式，能力要求更高。构造衍生的数列将问题转化为等差、等比数列问题，或转化为较简单的递推关系来求通项式。如何构造则体现了代数论证能力的高低。往往要分析题设条件的特征与等差、等比数列的性质加以综合考虑。

1.1

由形如anpnan1qn型的递推式求通项

由线性递推关系式（一阶）anpan1q(p,q是常数）求通项公式有固定的方法解，当系数变为关于n的函数式pn与qn时，情况复杂得多。通常我们会构造一个新数列bn，将问题转化为等差、等比数列或简单的线性递推数列来探求。例

1、数列an的前n项和为Sn，已知a11,Snn2annn1,n1,2,3, 2（1）写出Sn与Sn1的递推关系式n2，并求Sn关于n的表达式；（2）设fnx Snn1x,bnfnppR，求数列bn的前n项和为Tn。n411例

2、数列an的前n项和为Snan332n12,n1,2,3, 3n2n3,n1,2,3,，证明：Ti。（1）求首项a1与通项an；（2）设TnSn2i

1例

3、在数列an中，a12,an1ann122nnN，其0。

（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和为Sn；（3）证明存在kN，使得

an1ak1对任意nN均成立。anak

例

4、已知数列｛an｝中，a1的通项；

(2)求数列an

(1)令bnan1an3,求证数列bn是等比数列；

1、点（n、2an1an）在直线y=x上，其中n=1,2,3„． 2SnTnbn的前n项和,是否存在实数，使得数列、(3)设Sn、Tn分别为数列an为等差

n

数列？若存在，试求出．若不存在,则说明理由．

1.2由非线性递推关系式求通项

例

1、已知a12，点an,an1在函数fxx2x的图象上，其中n1,2,3,

2（1）证明 数列lg1an是等比数列；

（2）设Tn1a11a21an，求Tn及数列an的通项；（3）记bn

1121。，求数列bn的前n项和为Sn，并证明Snanan23Tn例

2、已知数列{an},a1a22,an1an2an1(n2)

（1）求数列{an}的通项公式an．

（2）当n2时,求证:111...3． a1a2an2*

（3）若函数f(x)满足：f(1)a1,f(n1)f(n)f(n).(nN)，求证：k1n11.f(k)1例

3、在正项数列an中,令Sni1n1.aiai

1（1）若an是首项为25,公差为2的等差数列,求S100；

（2）若Snnp（p为正常数）对正整数n恒成立,求证an为等差数列； a1an122ak

（3）给定正整数k,正实数M,对于满足a11M的所有等差数列an，求

Tak1ak2a2k1的最大值．

2、论证数列的特性

研究数列的性质，最多见的是证明不等式，在论证过程中常要求适度的放缩，有较高的能力要求。研究数列的其他特征包括：证数列是等差（或等比）数列，论证项之间的关系，求参数的取值范围等。

2.1证明数列中的不等关系

数列中的基本量存在普遍的不等关系，研究并论证有关数列基本量的不等关系成为有关数列代数论证题的丰富资源。证明方法应坚持从数列及不等式的基本性质入手，常用方法有比较法、数学归纳法、放缩法。要加强解题后的反思，在论证的过程后品味、归纳，以求从中领悟出选用不同解法的理由，积累经验。

例

1、an为等差数列，且a1a2n12n，Sn为数列{

（1）比较f（n）与f（n+1）的大小；

（2）若g(x)log

21}的前n项和，设fnS2nSn

anx12fn0，在x∈[a，b]且对任意n＞1，n∈N*恒成立，求实数a、b满足的条件 x0,例

2、设不等式y0,所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（x，y）

ynx3n

（x、y∈z）的个数为f(n)（n∈N）．

（1）求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式；

f(n)f(n1)，若对于任意n∈N，总有T≤m成立，求实数m的取值范围； nn

2（3）设Sn为数列｛bn｝的前n项和，其中bn＝2f(n)，问是否存在正整数n、t，（2）记TnSntbn使 ＜成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．

Sn1tbn116

2.2证明等差、等比数列的一般性命题

有关数列的代数论证题中，也有相当一部分是与等差、等比数列有关的试题。其中一部分是由数列的递推关系式作为条件，来证明数列（或衍生数列）是等差（或等比）数列，另一部分则直接论证等差、等比数列的有关结论，这些问题首先要抓住等差数列、等比数列的定义，从题设条件出发，找出其间的内在联系，探求解题途径。

例

1、已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN).*

（1）证明：数列an1an是等比数列；

（2）求数列an的通项公式；

（3）若数列bn满足

b1b214...4bn1(an1)bn(nN*),证明：bn是等差数列． 例

2、已知an是等差数列，bn是公比为q的等比数列，a1b1，a2b2a1，记Sn为数列bn的前n项和。

（1）若bkam(m,k是大于2的正整数），求证Sk1m1a1；、（2）若b3ai(i是某一正整数），求证：q是整数，且数列bn中每一项都是数列an中的项；

（3）是否存在这样的正数q，使等比数列bn中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，说明理由。

例

3、已知Anan,bnnN是曲线ye上的点，a1a,Sn是数列an的前n项和，且满

x足Sn3nanSn1,an0,n2,3,4,。（1）证明：数列围。

例

4、设数列an，bn，cn满足bnanan2,cnan2an13an2n1,2,3,。证明：an为等差数列的充分必要条件是cn是等差数列且bnbn1。

222bn2n2是常数列；（2）若数列an是单调递增数列，求a的取值范bn

3、函数的综合运用

（一）函数的代数论证题常与导数的运用密切结合，成为高考压轴题命题主要对象。

3.1用函数性质证明不等式

例

1、设a0，求证：当x1时，恒有xlnx2alnx1。

xx例

2、设函数fxee，证明 fx的导数fx2。

2例

3、已知函数fxxblnx1,b0。

2（1）当b1时，判断函数fx在定义域上的单调性； 2（2）求函数fx的极值点；

（3）证明对任意的正整数n，不等式ln

111123都成立。nnn3.2 求参数取值范围

已知不等式在指定区间内恒成立，求参数（字母系数）的取值范围，虽然是一类常考的题型，但是在难易程度上大相径庭，前面已经出现了一下求参数范围的题，解法相对容易，这里是研究难度较大、代数论证要求高的题。如果说证明不等式是在给定条件下经过推理、证出不等式成立属正向思维，那么已知不等式成立、反过来探求必须条件就是一种逆向思维。求参数范围问题常见的解法有两种，一是依据函数思想，构造函数，利用函数图象求解；二是分离参数，得出参数tfx或tfx在指定区间上恒成立，而由fx的值域，得出t的取值范围。

例

1、已知fx2xa在区间1,1上是增函数。2x21的两个解为x1,x2。问：是否存在实数m，使不等式x（1）求实数a的值所组成的集合A；（2）设方程fxm2lm1x1x2对任意aA及l1,1恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

例

2、已知函数fxekx。

x（1）若ke，确定函数fx的单调区间；

（2）若k0，且对任意xR，fx0恒成立，确定实数k的取值范围；（3）设函数Fxfxfx，求证：F1F2F3e

例

3、函数fxe2xn22nN。

n22texxx22t21,gx1fx。2（1）证明：当t22时，gx在R上是增函数；

（2）对于给定的闭区间a,b，试说明存在实数k，当tk时，gx在闭区间a,b上是减函数。

（3）证明：fx

3。

24、函数的综合运用

（二）并不是所有的函数问题都能用导数作工具来解决的，有时初等解法的寓意更深，如2006江苏高考数学第20题就体现了换元方法、化归意识、分类思想。

本节主要是给出函数解析式形式的题（但含参数）。对单一“二次函数”的证明问题不深入讨论，因为高中函数还是以“指、对、幂函数”为主，一方面它们也可以化归为二次函数问题，另一方面它们与一次、二次函数的简单复合形式（如多项式函数、分式函数、无理函数等）是多年来函数高考题的主题。例

1、设函数fxx21ax，其中a0。

（1）解不等式fx1；

（2）求a的取值范围，使函数fx在区间0,上是单调函数。

例

2、已知函数fxxa,gxx2ax1(a为正常数），且函数fx与gx在y轴

2上的截距相等。

（1）求a的值；（2）求函数fxgx的单调递增区间；

fn4（3）若n为正整数，证明：105gn4。

例

3、函数fx，若存在x0R，使fx0x0成立，则称x0为fx的不动点。已知函数fxaxb1xb1a0。2（1）当a1,b2时，求函数fx的不动点；

（2）若对任意实数b，函数fx恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若fx图象上A,B两点的横坐标是函数fx的不动点，且A,B两点关于直线ykx

12a21对称，求b的最小值。