长春宽城区学年高中数学平面向量单元测试题由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高中数学平面向量试题”。
长春宽城区2018-2019学年高中数学平面向量单元测试题
数学（理）2018.7
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()
A． 锐角三角形
B． 直角三角形 C． 钝角三角形
D． 不确定
2．在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则
=（）
A．
B．
C．
D．
3．设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为（）
A．
B．
C．
D． 0
=
2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的（）4．在△ABC中,设A． 垂心
B． 内心
C． 外心
D． 重心 5．已知△ABC是正三角形,若a=是（）
-λ
与向量的夹角大于90°,则实数λ的取值范围A． λ
B． λ
C． λ>
D． λ>2
6．已知△ABD是边长为2的等边三角形,且,则||等于（）
A．
B．
C．
D． 2
7．已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a上的投影为（）
试卷第1页，总5页 A．
1B． 2
C．
D．
8．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N等于（）A． {(1,1)}
B． {(1,1),(-2,-2)} C． {(-2,-2)}
D． ⌀
9．已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=（）A．
4B．
3C． 2
D． 0
10．如图所示,A,B,C是圆O上的三点,且三等分圆周,若
=x
+y,则
（）
A． x=y=-1
B． x=y=1
C． x=y=
D． x=y=-11．如右图:在平行六面体=.则下列向量中与
中，为AC与BD的交点，若
相等的向量是()
=，=，A．
B．
C．
D．
12．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，（）的取值范围是
试卷第2页，总5页
A．
B．
C． [﹣6，6]
D． [﹣4，4]
试卷第3页，总5页
第II卷（非选择题）
二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。
13．在四边形ABCD中,积为_____.=(1,1)，则四边形ABCD的面14．已知菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°,=2,则的值为________.15．已知向量a=(1,m),b=(3,),若向量a,b的夹角为,则实数m的值为_____.16．已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量λa+b与c共线,则实数λ的值为_____.三、解答题 共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．如图所示,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若的斜坐标为(x,y).=xe1+ye2(其中e1,e2分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则点P
(1)若点P在斜坐标系xOy中的斜坐标为(2,-2),求点P到原点O的距离.(2)求以原点O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.18．已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:
(1)BE⊥CF;(2)AP=AB．
19．如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.(1)求证:M是CD的中点;
试卷第4页，总5页(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求20．设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=(1)求a与b的夹角;(2)求|2a+3b|的大小.21．如图,在△OAB中,已知P为线段AB上的一点,.的最小值.=x·+y·.(1)若(2)若=3,求x,y的值;,||=4,|
|=2,且的夹角为60°时,求的值.22．已知向量=（sinx，cosx），=（sin（x﹣），sinx），函数f（x）=2•，g（x）=f（）．
（1）求f（x）在[，π]上的最值，并求出相应的x的值；（2）计算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；（3）已知t∈R，讨论g（x）在[t，t+2]上零点的个数．
试卷第5页，总5页
参考答案
1．B 【解析】 【分析】
由正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得A为直角，即得选项.【详解】
∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形． 【点睛】
判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
2．A 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算法则化简求解.【详解】
如图,=-=-)==)=.故答案为：A
【点睛】
(1)本题主要考查向量的线性运算法则，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、减法和平行四边形法则，是平面向量线性运算的重要考点，要理解掌握并灵活运用.3．B 【解析】 【分析】
答案第1页，总15页
先设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,再讨论S中含有的的个数，若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.再作差比较数量积公式求a与b的夹角.【详解】
设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.又|b|=2|a|,所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3
的大小，即得Smin=S3=4a·b.最后利用向量的故Smin=S3=4a·b.设a,b的夹角为θ,则Smin=4a·b=8|a|2cos θ=4|a|2,即cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=.故答案为：B 【点睛】
(1)本题主要考查平面向量的数量积和模，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是先要讨论S中含有的是要利用作差法得到Smin=S3=4a·b.4．C 【解析】 【分析】
假设BC的中点是O,先化简已知得
2=2,即（）·
=0, 所以的个数得到，其二, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】
假设BC的中点是O,则即(所以)·=0,=（）·（）=2
=2，所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.答案第2页，总15页
故答案为：C 【点睛】
（1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.5．D 【解析】 【分析】
设正三角形的边长为m,由题得得a·
由已知可得a·
-λ)·
|2-λ
2.故答案为：D 【点睛】
（1）本题主要考查平面向量的夹角公式和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)6．B 【解析】 【分析】
设AD的中点为E,证明四边形ABCE是平行四边形，再证明|【详解】
设AD的中点为E,则ABCE是平行四边形,连接BE,因为△ABD是边长为2的等边三角形,所以
|=|
|，求|
|即得解.的夹角大于90°，即；的夹角小于90°，即
.||=||=×2=,故答案为：B.【点睛】
答案第3页，总15页
(1)本题主要考查平面向量的平行四边形法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是取AD的中点E,因为7．B 【解析】 【分析】
直接利用向量的投影公式求解.【详解】
中有.a+b在a上的投影为故答案为：B 【点睛】
=2.(1)本题主要考查向量的投影和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)在方向上的投影为8．C 【解析】 【分析】
.先设解.【详解】，再化简集合M得到，再化简集合N得到，解方程组即得设a=(x,y),对于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),.①
对于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),由①②解得x=-2,y=-2,故M∩N={(-2,-2)}.故答案为：C 【点睛】
.②
(1)本题主要考查向量的坐标运算和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平
答案第4页，总15页
和分析推理能力.(2)本题解题的关键有两点，其一是设，因为向量是运动变化的,其二是化简集合M和N，分别得到9．B 【解析】 【分析】
直接利用向量的数量积公式化简求解.【详解】
a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.故答案为：B 【点睛】
和.(1)本题主要考查平面向量的数量积和模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)10．A 【解析】 【分析】 以为邻边作平行四边形OBDA,根据平行四边形法则即得x,y的值.,这些公式要理解掌握并灵活运用.【详解】 以
故答案为：A 【点睛】
本题主要考查平面向量平行四边形法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11．A 【解析】 【分析】 为邻边作平行四边形OBDA,已知
=0,所以
=-,因此x=y=-1.答案第5页，总15页
由题意可得
化简得到结果．
【详解】
由题意可得
故答案为：A 【点睛】
本题主要考查向量的加法减法法则,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12．C 【解析】 【分析】
根据圆的方程，求出【详解】
因为圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2，所以|ME|=∴=，|OM|=
3，=
=，∵的取值范围是[﹣6，6]．，的模长关系与夹角，利用向量数量积求得取值范围。
=6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，【点睛】
本题考查了向量数量积的简单应用，根据向量的模长求得数量积的取值范围，属于基础题。13．
【解析】 【分析】
先推理得到四边形ABCD为平行四边形,且|
|=|
|=,再根据已知得到四边形ABCD为菱形,再求出三角形BCD的面积，最后计算出四边形ABCD的面积.【详解】
答案第6页，总15页
由=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且||=||=,因为,所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为,且对角线BD长等于边长的倍,即BD=,则CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面积为,所以四边形ABCD的面积为2×故答案为：【点睛】.(1)本题主要考查共线向量和向量的线性运算，考查三角形的面积的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)表示与向量方向相同的单位向量.14．
【解析】 【分析】
先计算出【详解】 =-a2，再计算出
=()·()=-.∵=2,∴.∵菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°, ∴||=||=a,=|∵∴|||cos 120°=-a2., =()·（）
答案第7页，总15页
=·()
=-
=-a2+a2+a2=-.故答案为：【点睛】
(1)本题主要考查向量的线性运算法则，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、减法和平行四边形法则，是平面向量线性运算的重要考点，要理解掌握并灵活运用.15．
【解析】 【分析】
先利用坐标运算求出a·b=3+(3+m)2=[
m,再利用向量的数量积公式得a·b=,再解方程]2即得实数m的值.【详解】 因为a·b=3+m,且a·b=2所以(3+m)2=[cos
]2，解得m=-.故答案为：-【点睛】
答案第8页，总15页
（1）本题主要考查向量的数量积计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力。（2）向量16． 【解析】 【分析】
先求出λa+b的坐标，再根据向量λa+b与c共线得到-2(λ+2)-2λ=0,即得λ的值.【详解】
由题可知λa+b=(λ+2,2λ),又λa+b与c共线,所以-2(λ+2)-2λ=0,所以λ=-1.故答案为：-1 【点睛】
（1）本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)向量17．（1）2；（2）【解析】 【分析】
(1)先根据点P的斜坐标得到设圆上动点M的斜坐标为(x,y),【详解】
(1)因为点P的斜坐标为(2,-2), 所以所以|
=2e1-2e2,|=2,即点P到原点O
=2e1-2e2, 再平方求出|
|2=4，即点P到原点O的距离为2（.2）
与向量
共线，则
.，则
.=xe1+ye2,再平方化简得所求圆的方程为x2+y2+xy=1.|2=(2e1-2e2)2=4-8e1·e2+4=8-8×1×1×cos 60°=8-4=4,所以|的距离为2.(2)设圆上动点M的斜坐标为(x,y), 则=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1,则x2+2xye1·e2+y2=1,即x2+y2+xy=1, 故所求圆的方程为x2+y2+xy=1.【点睛】
答案第9页，总15页
（1）本题主要考查新定义和向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于新定义要先理解清楚它的内涵外延，再利用它来解题.18．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1)如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出
和的坐标，再计算得
=0即证
BE⊥CF.(2)设P(x,y),再根据已知求出P【详解】，再求=4=，即证明AP=AB.如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2), =(0,1)-(2,2)=(-2,-1),∵∴=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ,即BE⊥CF.(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).∵同理由,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=,∴y=,即P.∴=4=,答案第10页，总15页
∴||=||,即AP=AB.【点睛】
（1）本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，考查向量垂直和平行的坐标表示，考查模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力（.2）向量则19．（1）见解析；（2）0 【解析】 【分析】
.，(1)设=m=n,再根据向量的线性运算化简=,再求出=(1-n)+n,解方程组所以=m,即M是CD的中点.（2）先利用向量的数量积和向量的线性运算求得数求出函数的最小值.【详解】(1)设=m=n,==-,再利用二次函由题意知)
=又+m)=+n,+n（）
=(1-n)+n,∴
答案第11页，总15页
∴=m,即M是CD的中点.(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中点, ∴MB=∴=-|=|||||,∠ABM=45°, =()·=-（|2)·=--|
|2
|cos(180°-∠ABH)-||cos 45°-||2
=又0
，即H与M重合时,取得最小值,且最小值为0.【点睛】
(1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量量总可以表示成，其中
是基底.，则平面的任意一个向20．（1）；（2）【解析】 【分析】
(1)设a与b的夹角为θ,化简|3a-2b|=公式求|2a+3b|=【详解】
=
.得θ=,即a与b的夹角为.（2）利用向量模的计算(1)设a与b的夹角为θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cos θ=7,于是cos θ=,故 θ=,即a与b的夹角为.(2)|2a+3b|==
答案第12页，总15页
=.【点睛】
（1）本题主要考查向量的模和数量积的运算，考查向量模的求法，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2),则
.21．（1）【解析】 【分析】 ；（2）
(1)利用向量的线性运算化简得,即x=,y=.（2）先求出再计算【详解】(1)∵∴，即2,·()=.∴(2)∵=3,∴,即x=,y=.=3
+3,即4
+3,∴.∴x=,y=.·()
=
=×22-×42+×4×2×=-9.【点睛】
(1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量
答案第13页，总15页，则平面的任意一个向
量总可以表示成22．(1).，其中是基底.(2).(3)g（x）2个零点.【解析】 【分析】
（1）根据向量的坐标运算，求出f（x）的表达式，再根据定义域求出最值及相应的自变量。（2）根据三角函数表达式，求出三角函数的变化周期及函数值，代入求解。（3）跟雷讨论在t取不同范围时，交点的个数问题。【详解】
（1）f（x）=2•=2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx=
sin2x+sin2x
=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，f（x）最小值为 ﹣1，f（x）最大值为 ．
（2）由（1）得，f（x）=sin（2x﹣）+．∴g（x）=f（）=sin（x﹣）+．T=4，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×+g（1）+g（2）=1006+=.（3）g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y=sin（x﹣）与y=﹣同一直角坐标系内作出这两个数的图象．
两图象交点个数．在答案第14页，总15页
当4k＜t＜+4k，k∈Z时，由图象可知，y=sin（x﹣）与y=﹣零点
两图象无交点，g（x）无当+4k≤t＜2+4k或1个零点 +4k＜t≤4+4k时，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象1个交点，g（x）当2+4k≤t≤【点睛】 +4k时，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象2个交点，g（x）2个零点.本题考查了向量与三角函数的综合应用，注意分类讨论时t的不同取值情况，属于难题。
答案第15页，总15页
