解答题标准答案（定稿）_测验题标准答案

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解答题答案及评分标准（每题10分）

224n(1)n13n4343的敛散性，如收敛求其和。1.判断级数2n555nnn13解：4n收敛，(1)收敛，均为等比级数，n5n15n14n(1)n13n收敛，……………（5分）n5n134和S55

……………（10分）

81413551,2.讨论函数f(x)1,x为有理数,在[0,1]的可积性。

x为无理数;解：对区间[0,1]的任意分法T, 每个小区间既有有理数点又有无理数点..（3分）

若每个ξk均取为无理数:(T,)=f(k)xk=1

k1nn若每个ξk均取为有理数:(T,)=f(k)xk=-……………（6分）

k1（10分）于是当l(T)0,积分和(T,)极限不存在.故f(x)在[0,1]不可积.…3.求级数(n1)xn的和函数.n0解：收敛半径rlimann1,………………（3分）

n1nn1设S(x)(n1)x，有S(x)dxnn00xnxx0a(n1)xdx

nn0(n1)xdxxn1x…………………（6分）

n00n01xS(x)x12 1x(1x)'于是有 112x3x24x3...(n1)xn...x(1,1)…（10分）(1x)2

4.求平面曲线2yx2与xy4所围区域的面积.12y2x解：解得交点(2,2),(4,8).…………………（3分）

yx4面积微元dAx41x22dx

…………………（6分）

2面积A42dA42xdx1xx412224x1x18（10分）

62345.设f(lnx)ln(1x)，求f(x)dx.xtln(1et)令tlnx,则xe,f(t)，于是………………………………解：（3分）

etln(1ex)f(x)dxdx

exln(1ex)dex

………………………（6分）

ln(1ex)exln(1ex)1xedxdex

xxxxe1eee1ln(1ex)xxxln(e1)C(e1)ln(1e)xC

…（10分）xe6.求曲线xy4,x1,x4,y0所围区域绕x轴旋转所成旋转体的体积.解：绕x轴旋转的旋转体的体积V(4x)dx

……………（5分）14212………………（10分）161x17.求曲线xy1,x0,y0所围区域的面积.解：面积微元dA1x2xdx

…………（5分）

面积AdA1x2xdxx1x24x1………（10分）0023061132418.已知函数f(x)的二阶函数f''(x)连续，求xf''(x)dx。解：xf''(x)dxxdf'(x)

………………（3分）

xf'(x)f'(x)dx

………………………（6分）

xf'(x)f(x)C

………………………（10分）

9.已知F(x)在[1,1]连续，在(1,1)内F'(x)11x2，且F(1)3,求F(x).2解：F(x)F'(x)dx又因为F(1)11x2dxarcsinxC

……………………（3分）

33，有arcsin1C,故C.…………..……（6分）22F(x)arcsinx

……………..…（10分）

x2y210.讨论函数f(x,y)22在原点的二重极限和二次极限。2xy(xy)0x4解：limf(x,y)lim20;limf(x,y)lim41，x0x0xx0x0xy0yx故二重极限不存在………………（5分）

由limf(x,y)x000，y0，可知limlimf(x,y)0

y0x0y2同理可知limlimf(x,y)0。

x0y0所以二次极限都存在且都等于0。

…………（10分）

n11.求级数x2在[1,1]上是否一致收敛.n1n解：0,pN,xC,npn1n2xxxun1(x)un2(x)unp(x)22...2(n1)(n2)(np)

(n1)12(n2)12...(np)12n(n1)(n1)(n2)11...(np1)(np)

…（5分）nx21,nN,pN,x[1,1],x于是有0,N2...(n1)(np)

n1np

n即级数x2在[1,1]上一致收敛.………………（10分）

n1nn12.求级数(1)n1xn的收敛域;逐项微分后所得级数的收敛域.n1an1n11n1,r11.解：llima1nln1nn当x1时级数为(1)n1n11,收敛；当x1时级数为1,发散

nnn1故收敛域1,1.……………（5分）逐项微分后幂级数(1)n1xn1，收敛半径r1,n1

当x1时级数一般项不趋于0，发散，故收敛域为-1,1.………………（10分）13.给定函数列xn, 0≤x

…………………（5分）

nn（2）limsupf(x)fn(x)limsupxn10，nxCnxC故xn在[0,1)上不一致收敛。

…………………（10分）

xn14.求的收敛半径和收敛域，并求和。

n1n(n1)axn解：对，llimn1，nann1n(n1)1(n1)(n2)lim1, n1n(n1)故收敛半径r11.……………（3分）

l且x1时级数均收敛，故收敛域为[1,1].………………（6分）

xn111S'(x)2ln(1x),(0x1),xxn1(n1)

S(x)S'(t)dt10x1xln(1x),(0x1)x x00,1, x1和函数S(x)12ln2, x1

………………（10分）

11xln(1x),0x1xxtcostdt,x0，15.已知f(x)0

2x0x,(1)考察f(x)的连续性，写出它的连续区间;(2)考察f(x)在x0处是否可导，若可导求f'(0).解：（1）f(0)0,limf(x)0,limf(x)0，x0x0故f(x)在x0连续，连续区间为(,).………………（5分）

tcostdtf(x)f(0)0limlimxcosx0，（2）f(0)limx0x0x0xx'xx2f(0)lim0

x0x'（10分）故f(x)在x0处可导，f'(0)0.…………………(1)n1n()的收敛域。16.求级数 n1xn1解：用比值判别法.limnun1(x)un(x)limn11…………（3分）

nn11x1x(1)当11,1x1,即x0或x2时,原级数绝对收敛;…（5分）1x11,1x1,即2x0时,原级数发散;（7分）1x(2)当

(1)n收敛当x0时,级数nn1(3)当|1x|1,x0或x2,（9分）1当x2时,级数发散;n1n故级数的收敛域为(,2)[0,).…（10分）17.已知f(x)的一个原函数为sinx,求f(x)f(x)dx。

1xsinx解：设f(x)的一个原函数为F(x)，则

2sinxcosxsinxf(x)F'(x) (1xsinx)…………..……（3分）1xsinx于是f(x)f(x)dxf(x)df(x)

………..……（6分）

1f2(x)C

2(cosxsin2x)2C

……………（10分）2(1xsinx)418.讨论级数cosnx(0x)的绝对和条件收敛性。pnn1解：当p1时，级数绝对收敛，……………（3分）

当0p1，由Dirichlet定理知级数收敛，但cosnxnpcos2nx1cos2nx，np2np2np所以|cosnx|发散，即级数条件收敛，………………（7分）pnn1当p0时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛 ……………（10分）

n19设|r|1，研究级数rcosnx的一致收敛性，并计算其和函数

n0S(x)在[0,2]上的定积分.nnn解：un(x)rcosnxr（常数），而r为收敛的正项级数，于是由M判别法知rncosnx在|r|1一致收敛.………………（3分）

n0 又因为每一项un(x)rncosnx在R连续，于是有和函数S(x)在0,2连续，且与可换序.…………（6分）

20S(x)dxrcosnxdxrncosnxdx2…………（10分）

nn00n00x12220.求函数F(x)dx在[1,2]上的最大值、最小值。2x1dxdx10,x[1,2] , 解：F'(x)dx12x12x1

……………（4分）f(x)在[1,2]上单增，最小值F(1)0,……………….（7分）

最大值F(2)212d(2x1)dx11ln(2x1)22x1212x1211ln3。…（10分）221.讨论下列无穷积分的敛散性（如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛）1）1xarctanxsinxxcosxdx dx

2）dx 3）3101xx100x1）解：1sintsintsinxdxxt2tdt2dt 211xtt而1sintdt是条件收敛的。因此原积分条件收敛 t2）因为|u0cosxdx|2，而x在[0,)上单调趋向于0x，因此由狄利克

100x雷判别法知0xcosxxcos2x1xxcos2xxcosx|dx收敛。但是|

100x100x2100x100x100x0xxcos2xxcosxdx发散，dxdx为条件收敛 收敛。因此00100x100x100x

条件收敛

1xarctanx1|dx收敛。因此原积分绝对收敛 3）|，而11x32x22x222.讨论下列瑕积分是否收敛

1)2lnxxdx;2)dx.01lnxx1341lnxlnxx()limlim(4x4)0, 解：1）瑕点为x=0,lim1x0x0x0x4x1lnx3(p,0)故dx收敛

04x2）瑕点为x=1,lim(x1)x12xx1x(p1,1)故lim1,dx发散。1x1lnxlnxlnx

23.讨论下列级数的敛散性 (n!)2(i);(2n)!n1ii）2(1)2nn1iii)pn2n(lnn)

1）

un1[(n1)!]2(2n)!(n1)21limlimlim1,nun[2(n1)]!(n!)2n(2n1)(2n2)4nn所以收敛

2(1)n1limunlim1,所以收敛nn222）n3）由于积分

+2d(lnx)dudxpp2ln2up x(lnx)(lnx)p1时收敛，p1时发散，因此由积分判别法，级数p1时收敛，p1时发散24.判别dxx22x2的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值。

解：原式=0dxdxdxdx0x22x21(x1)201(x1)2 x22x20 =arctg(x1)0arctg(x1)0

25.判别1lnxdx的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值。xbblnxblim2lnxdlnxlim[(lnx)2]1

1bbx解：原式=lim故b11lnxdx发散 x26.讨论无穷限广义积分解：因为

1sinxarctanxdx的敛散性 x1sinxx在n[1,+上)有界，由阿贝尔判别法dx收敛，arctax1sinxarctxandx收敛。xsinxarctanxsinx但 ||||, x1,4xx1|sinx|dx发散，故有比较判别法知 x

1|sinxarctanxsinxarctanxdx为条件收敛 |dx发散，因此1xx