等差数列、等比数列知识点梳理_等差数列等比数列复习

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等差数列和等比数列知识点梳理

第一节：等差数列的公式和相关性质

1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：anan1d（d为公差）（n2，nN*）注：下面所有涉及n，nN*省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：

ana1(n1)d，a1为首项，d为公差

推广公式：anam(nm)d

变形推广：d

3、等差中项

（1）如果a，A，那么A叫做a与b的等差中项．即：b成等差数列，Aab2anam nm或2Aab

（2）等差中项：数列an是等差数列

2anan-1an1(n2)2an1anan24、等差数列的前n项和公式：

Snn(a1an)n(n1)na1d 22d212 n2(a1d)nAn2Bn

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n12n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5、等差数列的判定方法（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2）等差中项：数列an是等差数列

2anan-1an1(n2)2an1anan2

（3）数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

6、等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

7、等差数列相关技巧：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8、等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为2220。

（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap。（注：a1ana2an1a3an2，）当然扩充到3项、4项„„都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

（4）an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

(5)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，„也成等差数列

(6)数列{an}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）an、{bn}的前n和分别为An、Bn，则anA2n1

bnB2n1（8）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn，当然也有anm,amn，则amn0

(9)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

即当a10，d0，由an0可得Sn达到最大值时的n值． a0n1（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

即 当a10，d0，由an0可得Sn达到最小值时的n值． a0n1或求an中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n

注意：SnSn1an(n2)，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当n1的情况。

pq 2解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程； ②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）

第二节：等比数列的相关公式和性质

1、等比数列的定义：

2、通项公式：

ana1qn1，a1为首项，q为公比

anqq0n2，q为公比 an1推广公式：anamqnm，从而得qnm

3、等比中项

an am（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A2ab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列an是等比数列an2an1an14、等比数列的前n项和Sn公式：(1)当q1时，Snna1(2)当q1时，Sn

a11qn1qa1anq 1qa1a1qnAABnA'BnA（'A,B,A',B'为常数）1q1q5、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有an1qan或为等比数列

an1q(q为常数，an0){an}an（2）等比中项：an2an1an1（an1an10）{an}为等比数列（3）通项公式：anABnAB0{an}为等比数列（4）前n项和公式：

SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列

6、等比数列的证明方法 依据定义：若anqq0n2,且nN*或an1qan{an}为等比数列 an

17、等比数列相关技巧：

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：ana1qn1

如奇数个数成等比，可设为„，aa2„（公比为q，中间项，a,aq,aq2qq用a表示）；注意隐含条件公比q的正负

8、等比数列的性质：(1)当q1时

①等比数列通项公式ana1qn1a1nqABnAB0是关于n的带有系q数的类指数函数，底数为公比q ②前n项和Sna11qn1qa1a1qna1a1qnAABnA'BnA'，系1q1q1q数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q

(2)对任何m,nN*,在等比数列{an}中,有anamqnm,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3)若mnst(m,n,s,tN*),则anamasat。特别的,当mn2k时,得anamak2

注：a1ana2an1a3an2

(4)列{an},{bn}为等比数列,则数列{},{kan},{ank},{kanbn}{n}(k为非零常数)均为等比数列。

(5)数列{an}为等比数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列

(6)如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列(7)若{an}为等比数列,则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列(8)若{an}为等比数列,则数列a1a2an,an1an2a2n，a2n1a2n2a3n成等比数列

kanabn(9)①当q1时，②当0

a10，则{an}为递减数列10，则{an}为递增数列{a{a10，则{an}为递减数列,a10，则{an}为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q

(10)在等比数列{an}中, 当项数为2n(nN*)时,S奇S偶1,。

q(11)若{an}是公比为q的等比数列,则SnmSnqnSm

注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比q1的特殊情况。

解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和q的方程； ②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。

关于等差、等比两个引申：ankan1b模式（其中k,b为常数，；anpan1pn模式（其中p为常数，n2）n2）在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解：

例1

已知数列an，有an3an14（n2），则求该数列的通项公式

解题大致思路：先设anb3(an1b)，则对于an3an14an23(an12)，那么我们就可以构造数列an2为等比数列，利用等比的相关性质去解决，注意：构造新数列的首项和公比分别是多少？还有你考虑到当n1的这种情况了吗？

例2

已知数列bn，有bn2bn12（n2），求该数列的通项公式

n解题的大致思路：bn2bn12（n2）nbn2bn1bnbn11n11，相信你已nnn2222经知道构造什么数列了吧，这两个模式考试中喜欢考，也比较基础，当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数列中的构造思想。