——专题立体几何(理)_立体几何题理

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立体几何

一、空间线面的垂直与平行

证明线面平行:(1)线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;(2)转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面问题,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.证明线面垂直:一是判定定理;二是直线的方向向量与平面的法向量平行.例

1、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱BB1上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.解 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=(-1,1,0).而E,F分别为棱AB和BC的中点,所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.设点M(1,1,m),所以错误！未找到引用源。=(1,1,m-1).因为D1M⊥平面EFB1,所以D1M⊥EF,D1M⊥B1E,所以错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=0,错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=0,即错误！未找到引用源。解得m=错误！未找到引用源。.故当M为棱B1B的中点时,D1M⊥平面EFB1.2.如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上一点,且CE=错误！未找到引用源。CC1,求证:A1C⊥平面BDE.证明 如图(2),以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则B(1,0,0),D(0,1,0),E错误！未找到引用源。,A1(0,0,2),C(1,1,0),所以错误！未找到引用源。=(1,1,-2),错误！未找到引用源。=(-1,1,0),错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.因为错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=(1,1,-2)·(-1,1,0)=1×(-1)+1×1+(-2)×0=0,错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=(1,1,-2)·错误！未找到引用源。=1×0+1×1+(-2)×错误！未找到引用源。=0,所以错误！未找到引用源。⊥错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。⊥错误！未找到引用源。,所以A1C⊥BD,A1C⊥BE.因为BE∩BD=B,BE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,所以A1C⊥平面BDE.【例3】 如图(1),在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为CD的中点,G为AB的中点,求证:平面ADE⊥平面A1FG

(例3(1))

证明 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1.∴E错误！未找到引用源。,A(1,0,0,),A1(1,0,1),G错误！未找到引用源。,F错误！未找到引用源。.∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=(-1,0,0).∴错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=0+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=0,错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=0+0+0=0.∴错误！未找到引用源。⊥错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。⊥错误！未找到引用源。.∵A1G∩GF=G

∴AE⊥平面A1GF.又AE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面A1GF.二、空间角的计算

两条异面直线所成的角：（0，900] 与它们的方向向量所成的角相等或互补.设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量a,b的夹角为φ,则有cosθ=|cosφ|=错误！未找到引用源。.1、2、直线和平面所成的角：可以通过直线的方向向量与平面的法向量求得.设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量a与平面的法向量u的夹角为φ,则有sinθ=|cosφ|=错误！未找到引用源。.3、平面与平面的夹角

二面角的取值范围是[0°,180°],所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角φ相等或互补.图1中,θ=φ;图2中,θ=180°-φ.(图2)(图1)

例题：

1.已知a,b分别是异面直线l1,l2的方向向量,且cos=-错误！未找到引用源。,则异面直线l1和l2所成角的大小为 45°.2.已知直线l的方向向量a=(1,-1,1),平面α的法向量b=(2,-4,1),则直线l和平面α所成角的余弦值为 错误！未找到引用源。.3、如图(1),在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=CF=1.(1)求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.解(1)以D为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(3,0,0),C1(0,3,3),D1(0,0,3),E(3,0,2),所以错误！未找到引用源。=(3,0,-1),错误！未找到引用源。=(-3,3,3),所以cos=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。,即异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为错误！未找到引用源。.(2)因为B(3,3,0),所以错误！未找到引用源。=(0,-3,2).设平面BED1F的一个法向量为n=(x,y,z),由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。所以错误！未找到引用源。

则n=(x,2x,3x),不妨取n=(1,2,3).设直线AC1与平面BED1F所成的角为α,则sinα=|cos|=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.所以直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为错误！未找到引用源。.【例2】已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点.(1)求A1D与EF所成角的大小;

(2)求A1F与平面B1EB所成角的正弦值;(3)求二面角C-D1B1-B的余弦值。

解 以{错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E错误！未找到引用源。,F错误！未找到引用源。.(1)因为错误！未找到引用源。=(-1,0,-1),错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。,-错误！未找到引用源。,0,所以|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。,|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.由cos=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,可知向量错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的夹角为60°.因此,A1D与EF所成角的大小为60°.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AB⊥平面B1C1CB,所以错误！未找到引用源。是平面B1EB的一个法向量.因为错误！未找到引用源。=(0,1,0),错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,所以|错误！未找到引用源。|=1,|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.由cos=错误！未找到引用源。=错误！

未找到引用源。,可得向量错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的夹角约为70.53°.(3)因为AC1⊥平面B1D1C,所以错误！未找到引用源。是平面B1D1C的一个法向量.又因为AC⊥平面B1D1DB,所以错误！未找到引用源。是平面B1D1DB的一个法向量.因为错误！未找到引用源。=(-1,1,1),错误！未找到引用源。=(-1,1,0), 所以|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。,|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=2.由cos=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,对应练习

1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是BC的中点,点E1在D1C1上,且D1E1=错误！未找到引用源。D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.[5]

解 以{错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则B1(1,1,1),E1错误！未找到引用源。,F错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。=(1,1,1),错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.设错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。所成的角为θ.因为错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=1×错误！未找到引用源。+1×错误！未找到引用源。+1×(-1)=错误！未找到引用源。,|错误！未找到引用源。|·|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。× 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,则cosθ=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.因为错误！未找到引用源。是直线E1F的方向向量,错误！未找到引用源。是平面D1AC的法向量,所以E1F与平面D1AC所成的角是θ的余角,所以直线E1F与平面D1AC所成角的正

弦值为错误！未找到引用源。.2、如图(1),已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧面与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N,P分别是CC1,BC,A1B1的中点.(1)求证:PN⊥AM;

(2)若直线MB与平面PMN所成的角为θ,求cosθ的值.解(1)建立如图(2)所示空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),P错误！未找到引用源。,M错误！未找到引用源。,N错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.因为错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=0×0+1×错误！未找到引用源。+(-1)×错误！未找到引用源。=0, 所以PN⊥AM.(2)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.设平面PMN的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。

令y1=2,得z1=1,x1=3 ,所以n1=(3,2,1).又错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 所以sinθ=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,故cosθ=错误！未找到引用源。.3、如图(1),在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=错误！未找到引用源。,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.解 建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则O1(0,1,错误！未找到引用源。),A(错误！未找到引用源。,0,0),A1(错误！未找到引用源。,1,错误！未找到引用源。),B(0,2,0),∴错误！未找到引用源。=(-错误！未找到引用源。,1,-错误！未找到引用源。),错误！未找到引用源。=(错误！未找到引用源。,-1,-错误！未找到引用源。).∴cos=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为错误！未找到引用源。.4、如图(1),在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=45°,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;(2)求平面OAB与平面OCD所成角的余弦值.解 作AP⊥CD于点P,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D错误！未找到引用源。,P错误！未找到引用源。,O(0,0,2),M(0,0,1).(变式(2))

(1)因为错误！未找到引用源。=(1,0,0),错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,则cos=-错误！未找到引用源。,故AB与MD所成的角为错误！未找到引用源。.(2)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·错误！未找到引用源。=0,n·错误！未找到引用源。=0,即错误！未找到引用源。取z=错误！未找到引用源。,则n=(0,4,错误！未找到引用源。).易得平面OAB的一个法向量为m=(0,1,0),所以cos=错误！未找到引用源。,故平面OAB与平面OCD所成角的余弦值为错误！未找到引用源。.5、如图(1),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=错误！未找到引用源。AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.(1)求证:DC1⊥BC;

(2)求二面角A1-BD-C1的大小.解(1)在矩形AA1C1C中,由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=错误！未找到引用源。AA1,可得D错误！未找到引用源。+DC2=A1错误！未找到

引用源。+A1D2+AD2+AC2=4AC2=C错误！未找到引用源。,所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.因为BC⊂平面BCD,所以DC1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,DC1∩CC1=C1,则BC⊥平面ACC1A1,所以CA,CB,CC1两两垂直.故以C为坐标原点,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,|错误！未找到引用源。|为单位长度,(例2(2))

建立如图(2)所示的空间直角坐标系C-xyz.因此,A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).则错误！未找到引用源。=(0,0,-1),错误！未找到引用源。=(1,-1,1),错误！未找到引用源。=(-1,0,1).设n=(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量, 则错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。可取n=(1,1,0).设m=(x,y,z)是平面C1BD的一个法向量,则错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。可取m=(1,2,1).从而cos=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.故二面角A1-BD-C1的大小为30°.6.如图(1),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)设错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为错误！未找到引用源。,求λ的值;

(2)若D是AB的中点,求二面角D-CB1-B的余弦值.解(1)分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系C-xyz,则A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),C1(0,0,4),所以错误！未找到引用源。=(-3,0,4),错误！未找到引用源。=(-3,4,0),因为错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。,所以点D(-3λ+3,4λ,0),所以错误！未找到引用源。=(-3λ+3,4λ,0).因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为错误！未找到引用源。,所以|cos|=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,解得λ=错误！未找到引用源。.(2)由(1)得B1(0,4,4),D错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=(0,4,4).易知平面CBB1C1的一个法向量为n1=(1,0,0).设平面DB1C的一个法向量为n2=(x0,y0,z0),由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。

令x0=4,则y0=-3,z0=3,所以n2=(4,-3,3).由于cos=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,所以二面角D-B1C-B的余弦值为错误！未找到引用源。.7、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且

PA=PB，点E是PD的中点.（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB//平面AEC；（Ⅲ）求二面角E—AC—B的大小.8:如图，在三棱柱中ABCA'B'C'，AA'平面ABC，AA'ABAC,ABAC，点D是BC上一点，且ADC'D。求证：（1）求证：A'B//平面ADC'；

（2）求异面直线AB与AC所成角的余弦值

（3）求直线AD与平面ADC所成角的正弦值；（4）求二面角CAC'D的余弦值。

9、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 为正方形，PD=DC2，E，F分别是AB，PB的中点．（Ⅰ）求证：EF//平面PAD；（Ⅱ）求直线EF与CD所成的角；（Ⅲ）求二面角FECB的余弦值．

10．如图，四边形ABCD为正方形，BE平面ABCD，EB∥FA，FAAB（I）证明：平面AFD平面AFB；

（II）求异面直线ED与CF所成角的余弦值;（III）求直线EC与平面BCF所成角的正弦值．（Ⅳ）求二面角FCDB的余弦值

CD1EB． 2BFEA