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《经济数学基础12》形成性考核册及参考答案
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《经济数学基础 12》形成性考核册及参考答案 作业
（一）（一）填空题
C.lim x sin
x →0=1 x
D.lim
sin x =1 x→∞ x）．答案：B
x ? sin x =.答案：0 1.lim x →0 x
2.设
3.设 y
= lg 2 x，则 d y =（B．
A．
x 2 + 1, x ≠ 0 f(x)= ?，在 x = 0 处连续，则 k =.答案：1 ? k, x=0 ?
y = x 在(1,1)的切线方程是
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演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案1.答案： y = x + 2 2dx 2xdx x ln10
C．
ln10 dx x
D．dx x
4.若函数 f(x)在点 x0 处可导，则(A．函数 f(x)在点 x0 处有定义 C．函数 f(x)在点 x0 处连续 5.当 x)是错误的．答案：B B． lim
x → x0
f(x)= A，但 A ≠ f(x0)
3.曲线
D．函数 f(x)在点 x0 处可微 答案：C D． cos x
4.设函数
f(x + 1)= x 2 + 2 x + 5，则 f ′(x)=.答案： 2 x
π π f ′′()=.答案： ? 2 2）答案：D
5.设
f(x)= x sin x，则
→ 0 时，下列变量是无穷小量的是（）.sin x x A． 2 B． C． ln(1 + x)x
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(三)解答题 1．计算极限（1）lim
x →1
（二）单项选择题 1.函数
y=
x ?1 的连续区间是（x +x?2
A．(?∞,1)∪(1,+∞)C ．
B．(?∞,?2)∪(?2,+∞)D ．
x 2 ? 3x + 2 1 =? 2 2 x ?1
1? x ?1 1 =? x 2
（2）lim
x→2
x 2 ? 5x + 6 1 = x 2 ? 6x + 8 2
(?∞,?2)∪(?2,1)∪(1,+∞)
(?∞,?2)∪(?2,+∞)
或
（3）lim
x →0
（4）lim
x 2 ? 3x + 5 1 = x→∞ 3 x 2 + 2 x + 4 3
(?∞,1)∪(1,+∞)
2.下列极限计算正确的是（）答案：
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B
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sin 3 x 3 =（5）lim x → 0 sin 5 x 5
x2 ? 4（6）lim =4 x → 2 sin(x ? 2)
A.lim
x →0
x x
=1
B.x →0
lim +
x x
=1
2．设函数? x sin + b, x 0 ? x ?
f(x)在 x = 0 处有极限存在？
答案：
y′ =2(3 x ? 5)3
（4）
y = x ? xe x，求 y ′
问：（1）当 a, b 为何值时，（2）当 a, b 为何值时，（1）当 b（2）当 a
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答案：
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答案：
y′ =2 x
(x + 1)e x
f(x)在 x = 0 处连续.（5）
= 1，a 任意时，f(x)在 x = 0 处有极限存在；
y = e ax sin bx，求 dy = e ax(a sin bx + b cos bx)dxx
= b = 1 时，f(x)在 x = 0 处连续。
答案： dy
3．计算下列函数的导数或微分：（1）
（6）
y = e + x x，求 dy
y = x 2 + 2 x + log 2 x ? 2 2，求 y ′
y ′ = 2 x + 2 x ln 2 + 1 x ln 21 答案： dy =(x ? 2 e x)dx 2 x
（7）
答案：
ax + b（2）y =，求 y ′ cx + d
y = cos x ? e ? x
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=(2 xe ? x ?，求 dy
ad ? cb 答案： y ′ =(cx + d)2
（3）
答案： dy
sin x 2 x)dx
（8）
y = sin n x + sin nx，求
y=3x ? 5，求
y′
答案：
（9）
y = ln(x + 1 + x 2)，求
答案： y ′′ =? 2x 2(1 + x 2)2，求
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y ′ y ′ = n(sin n ?1 x cos x + cos nx)y ′ 精心编辑
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答案：
y′ =1+ x2
cot 1 x
（2）
y=
1? x x
y ′′ 及 y ′′(1)
（10）
y=2
+x+ 3 x 2 ? 2x x，求
y′
答案：
y ′′ =?2 1 ?2 x + x，y ′′(1)= 1 4 4
作业（作业
（二）精心收集
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答案：
y′ =
ln 2 1 ? 2 1 ? 6 ? x + x 1 2 6 2 x sin x
y 是 x 的隐函数，试求 y ′ 或 dy
cot
（一）填空题 1.若
∫ f(x)dx = 2
x
+ 2 x + c，则 f(x)=
.答案：
4.下列各方程中（1）xx ln 2 + 2
2.+ y 2 ? xy + 3 x = 1，求 dy = y ? 3 ? 2x dx 2y ? x y)+ e xy = 4 x，求 y ′
∫(sinx)′dx =.答案： sin x + c ∫ f(x)dx =F(x)+ c，则 ∫ xf(1 ? x
答案： dy
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3.若)dx =
.答案：
（2）sin(x +
答案：
y′ =? ye xy ? cos(x + y)xe xy + cos(x + y)F(1 ? x 2)+ c 2 d e 2 4.设函数 ∫1 ln(1 + x)dx =.答案：0 dx ?
5.若 P(x)
=∫
01+ t2
x
dt，则 P ′(x)=.答案： ?1+ x2
5．求下列函数的二阶导数：（1）
y = ln(1 + x 2)，求 y ′′
（二）单项选择题
1.下列函数中，（A． 答案：D 2.下列等式成立的是（A． sinxdx）是 xsinx 的原函数． B． 2cosx2 C．-2cosx2 D．4 ln 2 D．-4 × 2
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A
演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案）．p
y = 3(x ? 1)2 的驻点是，极值点是
= 1, x = 1，小，它是极
值点.A． 4 × 2 答案：Cp
ln 2
ln 2
答案： x
3.设某商品的需求函数为 q(p)
= 10e
p 2，则需求弹性 E p
=
3.下列积分计算正确的是（.答案：）．
2p
e x ? e?x ∫?1 2 dx = 0
B．
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e x + e?x ∫?1 2 dx = 0
4.行列式 D
C． 答案：A
= ? 1 1 1 =.答案：4 ?1 ?1 1
∫-1
x sin xdx = 0
D．
∫-1
(x 2 + x 3)dx = 0
4.设线性方程组 Am×n X A．r(A)
= b 有无穷多解的充分必要条件是（B．r(A)）．
= r(A)
C．m
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D．r(A)
= r(A)
答案：D
x1 + x 2 = a1 ? 5.设线性方程组 ? x 2 + x3 = a 2，则方程组有解的充分必要条件是（?x + 2x + x = a 2 3 3 ? 1 B． a1 ? a 2 + a 3 = 0 A． a1 + a 2 + a 3 = 0 C． a1 + a 2 ? a 3 = 0 D． ? a1 + a 2 + a 3 = 0
答案：C
三、解答题 1．求解下列可分离变量的微分方程：
答案：）．
y = x(? cos 2 x + c)
3.求解下列微分方程的初值问题：(1)
y ′ = e 2 x ? y , y(0)= 0
y
答案： e
=x 1 e + 2 2
(2)xy ′ + 答案：
y ? e x = 0 , y(1)= 0x(e ? e)x
(1)
y ′ = e x+ y
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y
y=
4.求解下列线性方程组的一般解：
答案： ? e
= ex + c
（2）
dy xe x = dx 3 y 2 y = xe ? e + c
x x
+ 2 x3 ? x 4 = 0 ? x1 ?（1）? ? x1 + x 2 ? 3 x3 + 2 x 4 = 0 ?2 x ? x + 5 x ? 3 x = 0 2 3 4 ? 1
答案： ?
答案：
x1 = ?2 x3 + x 4 ? x 2 = x3 ? x 4
（其中 x1 , x 2 是自由未知量）
2.求解下列一阶线性微分方程：（1）y ′ ? y =(x + 1)3 x +1 2 1 2 答案： y =(x + 1)(x + x + c)2 y（2）y ′ ? = 2 x sin 2 x x
0 2 ? 1? 2 ? 1? ?1 ?1 0 ?1 0 2 ? 1? ? ? 1 1 ? 3 2 ? → ?0 1 ? 1 1 ? → ? 0 1 ? 1 1 ? A=? ? ? ? ? ? ? 2 ? 1 5 ? 3? ?0 ? 1 1 ? 1? ?0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ?
所以，方程的一般解为
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x1 = ?2 x3 + x 4 ? ? x 2 = x3 ? x 4
（其中 x1 , x 2 是自由未知量）
x1 ? x 2 ? x3 = 1 ? ? x1 + x 2 ? 2 x3 = 2 ? x + 3x + ax = b 2 3 ? 1
答案：当 a 当ax1 ? x 2 + x3 + x 4 = 1 ?（2）? x1 + 2 x 2 ? x3 + 4 x 4 = 2 ? x + 7 x ? 4 x +11x = 5 2 3 4 ? 16 4 ? x1 = ? x3 ? x 4 + ? 5 5 5（其中 x , x 是自由未知量）答案： ? 1 2 3 7 3 ? x 2 = x3 ? x 4 + 5 5 5 ?
5.当 λ 为何值时，线性方程组
= ?3 且 b ≠ 3 时，方程组无解； ≠ ?3 时，方程组有唯一解； 当 a = ?3 且 b = 3 时，方程组无穷多解。
6．求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品 q 个单位时的成本函数为： C(q)元）, 求：①当 q
= 100 + 0.25q 2 + 6q（万
= 10 时的总成本、平均成本和边际成本；
x1 ? x 2 ? 5 x3 + 4 x 4 = 2 ? 2 x ? x + 3x ? x = 1 ? 1 2 3 4 ? 3x1 ? 2 x 2 ? 2 x3 + 3 x 4 = 3 ? ?7 x1 ? 5 x 2 ? 9 x3 + 10 x 4 = λ ?
有解，并求一般解。答案：
②当产量 q 为多少时，平均成本最小？
答案：① C(10)
= 185（万元）
C(10)= 18.5（万元/单位）C ′(10)= 11（万元/单位）
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②当产量为 20 个单位时可使平均成本达到最低。（2）.某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q)单位销售价格为
x1 = ?7 x3 + 5 x 4 ? 1（其中 x1 , x 2 是自由未知量）? ? x 2 = ?13x3 ? 9 x 4 ? 3
5． a, b 为何值时，方程组
= 20 + 4q + 0.01q 2（元），p = 14 ? 0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大
利润是多少． 答案： 当产量为 250 个单位时可使利润达到最大，且最大利润为 L(250)（3）投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为 C ′(q)
= 1230（元）。
= 2q + 40(万元/百
台)．试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本 达到最低． 解：当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为 答案：
C = 100（万元）当 x = 6（百台）时可使平均成本达到最低.（4）已知某产品的边际成本 C ′(q)=2（元/件），固定成本为 0，边际收益
R ′(q)= 12 ? 0.02q，求：
①产量为多少时利润最大？ ②在最大利润产量的基础上再生产
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件，利润将会发生什么变化？ 答案：①当产量为 500 件时，利润最大.②
L =（元）
即利润将减少 25 元.1
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