高中数学选修45：32 一般形式的柯西不等式 学案_高中数学柯西不等式

高中数学选修45：32 一般形式的柯西不等式 学案由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高中数学柯西不等式”。

3.2 一般形式的柯西不等式

【学习目标】

1.掌握一般形式的柯西不等式的判别式法证明，并掌握等号成立的充要条件 2.基本会使用柯西不等式证明不等式、求最值 【自主学习】

1.三维柯西不等式可以对比二维柯西不等式来记忆和理解，你能写出来吗？ 2.一般形式的柯西不等式是对二维、三维的推广，是归纳推理的典范，至少要会用判别式法完成证明，而且要理解等号成立的充要条件

3.结合二维柯西不等式的应用初步的体会一般形式的柯西不等式的应用.【自主检测】

1.已知a,b,c0，且abc1，则a2b2c2的最小值为＿＿＿＿ A.1B.4C.D.2.设a1,a2，an

R,1a

1b

1c

1314

a1a2

an

n的大小关系为＿＿＿

3.若a,b,c0,1，则abc的最小值是＿＿＿＿ 【典型例题】

例1.已知a,b,c0，求证：

1.

bcaabc

92.abca2b2c29abc abcbca



b2c2c2a2a2b2

abc 2.abc

n

n

例2.(1)已知a1,a2，anR.求证：ainai2

i1i1

（2）已知a1,a2，an0,a1a2（3）已知a1,a2，anR,b1,b2,a32an12an2a12a221

an1.

a1a2a2a3a3a4an1anana12

2222,bn0.求证：a1a2a3ana1a2an

b1b2b3bnb1b2bn

例3.（1）已知a12a22an21,x12x22xn21，求a1x1a2x2anxn的最大值

111

（2）设a,b,cR,abc1，求abc

abc



2的最小值

（3）若xyz19,求函数u

【课堂检测】

1.设a1,a2，anR,，则Pa1a2

nan与Qn

a1a2an的大小关系为()

A.PQB.PQC.PQD.PQ 11112.设a,b,c，dR，且Pabcd，则P的最小值为abcd

3.已知x4y9z1，则x2y2z2的最小值为4.把一条长为m的绳子截成四段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这四个正方形的面积和最小？

【总结提升】

1.由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，对不等式等号成立的条件更要对比来研究.2.一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，形成一定的思维模式，在解决问题时才能灵活使用.