排序不等式2_排序不等式

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东安一中奥赛培训专题 《不等式的证明》陈雄武

《排序不等式，琴生不等式》及应用

1、（排序不等式）：设有两组数a1,a 2，满,足,an,bb;,bn,12a1 a2an,b1b2bn，则有a1b1a2b2anbn（顺序和）

a1bi1a2bi2anbin（乱序和）a1bna2bn1anb1（逆序和）2，（切比雪夫不等式）：若a1a2an，b1b2bn，则a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn .nnn

证明：由题设和排序不等式，有a1b1a2b2anbn=a1b

1a2b2anbn，a1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1，……a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1.将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式.f(x)是定义在实数集M上的函数，且对任意的xl、x2 ∈M，都有

xx，fx1fx22f12，则对任意的xi ∈M（i = 1，2，…，n）

2

3，（Jensen 琴生不等式）设1n，fxinfxii1ni1na2b2b2c2c2a2a2b2c

2.例1：a,b,cR，求证abc2c2a2bbccaab

例2：在△ABC中，试证：

3aAbBcC.abc2

例3：设a1,a2,,an是互不相同的自然数，试证1

ana1

1a12.2n22n2

例4：设b1,b2,,bn是正数a1,a2,,an的一个排列，求证

aa1a2

nn.b1b2bn

例5：设正数a,b,c的乘积abc1，试证：(a1)(b1)(c1

1b1c1)1.a

例6：设正数a、b、c的乘积abc1,证明

3.22

2a(bc)b(ca)c(ab)2

例7：设实数x1x2xn,y1y2yn,z1,z2,,zn是y1,y2,,yn的一个置换，证明：

(x

i

1n

i

yi)(xizi)2.i1

n

akn1

例8：设ak是两两互异的正整数（k1,2,)，证明对任意正整数n，均有2.i1ki1k

n

n

例9：x1,x2,...,xnR(n2),且



x

i1

i

1，证明：i1

n



n

3.已知xi0,(i1,2,,n)，n2,x1x2xn1，求证：(1

1n11)(1)n(1)nn(n1)nx1x2xn

1111111

证：[(1)n(1)n(1)n](1)n(1)n(1)n

nx1x2xnx1x2xn

111)(1)(1)x1x2xn

bbbbbb

(利用结论：[(11)(12)(1n)]n1(12n)n);

a1a2ana1a2an (1

[(1

1111)(1)(1)]1()1x1x2xnx1x2xn

n1n

x1x2xn

x1x2xn1



nn1

[(1)(1)(1)]n1n

x1x2xn又x1x2xn

(1(1

111)(1)(1)(n1)nx1x2xn

1n11)(1)n(1)nn(n1)nx1x2xn

4.若P为ABC内任一点，求证PAB、PBC、PCA中至少有一个小于或等于30；证：设PAB、PBC、PCA，且PAC'、PBA'、PCB';PAsinPBsin'



依正弦定理有：PBsinPCsin'sinsinsinsin'sin'sin'

PCsinPAsin'(sinsinsin)2sinsinsinsin'sin'sin'

sinsinsinsin'sin'sin'6)

6'''1sin6()()6

62（sinsinsin()

330,否则150时，、中必有一个满足30在、、,中必有一个角满足sin