3.2均值不等式_32均值不等式

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3.2均值不等式

【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；通过两个例题的研究，进一步掌握基本不

等式ab

2，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；能够解决一些简单实际问题。

3．情态与价值：通过本节的学习，引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】



【教学难点】

基本不等式

ab

2ab2的证明过程； 等号成立条件及其应用，利用基本不等式ab

2求最大值、最小值。

【教学过程】

1.课题导入

ab

2的几何背景：

如图是在北京召开的 22

证明：因为ab2ab(ab)当ab时,(ab)0,当ab时,(ab)0,所以，(ab)0，即(ab)2ab.4．1）



ab2

222

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b，可得ab



ab

2(a>0,b>0)

ab2

2）

用分析法证明：

要证

ab2

(1)

只要证a+b要证（2），只要证0（3）要证（3），只要证（）2（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。3）

ab2的几何意义

探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b

。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD何解释吗？

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab.这个圆的半径为

ab

2ab2的几，显然，它大于或等于CD，即

a

b2

ab，其中当且仅当点C与

圆心重合，即a＝b时，等号成立.评述：1.如果把

ab2

ab2

几何意义是“半径不小于半弦”

看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称

ab

2为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本

节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注：a

b

2ab和

ab

2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而

后者要求a,b都是正数。

3.补充例题

例1已知x、y都是正数，求证：

(1)

yxxy

≥2；

(2)（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy.分析：在运用定理：

ab

2

ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把

握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：∵x，y都是正数∴

xy

＞0，yx

＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

(1)

xy



yx



2xy



yx

＝2即

xy



yx

≥2.(2)x＋y≥2xy＞0x2＋y2≥2x2y2＞0x3＋y3≥2

xy＞0

32233∴（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥2xy·2x2y2·2xy＝８xy

3333

即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.例2（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m

。由

xy

2

可得

xy2(xy)40。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜

212

12，其

面积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤（2x362x)

368

当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2

解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xym2。由



xy2

182

9，可得xy8

1当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m

24.归纳：

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则

＋

ab≤

M

4，等号当且仅当a＝b时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2

P，等号当且仅当a＝b时成立.例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每1m价是多少元？的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

l240000720(x

1600x)

2400007202x

1600x

240000720240297600

当x

1600x,即x40时,l有最小值2976000.因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.例4已知m>0,求证

24m

6m24。

[思维切入]因为m>0,所以可把

24m

和6m分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不

等式。

[证明]因为m>0,，由基本不等式得

24m

6m2

24m

21224

当且仅当=6m，即m=2时，取等号。

[思维拓展1]已知a,b,c,d都是正数，求证(abcd)(acbd)4abcd.[思维拓展2]求证(ab)(cd)(acbd).例5求证:

4a

3a7.[思维切入]由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边

4a3

a

4a3

(a3)3.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明

]

4a3

4a3

3

4a3

(a3)3337

当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.利用基本不等式证明不等式的规律技巧总结注意：

1、m>0这一前提条件和

24m9x9x

6m=144为定值的前提条件。

2、通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.例3(1)若x>0,求f(x)4x(2)若x0和4x

9x的最小值;的最大值.=36两个前提条件;(2)中x0来转化.解(1)因为 x>0 由基本不等式得

f(x)4x

9x

12,当且仅当4x

9x

即x=

32时, f(x)4x

9x

取

最小值12.(2)因为x0, 由基本不等式得

: f(x)(4x

9x)(4x)(

9x)12,所以f(x)12.当且仅当4x

9x

即x=-

时, f(x)4x

9x

取得最大-12.利用不等式求最值的规律技巧总结

利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.5.小结：

本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（ab

2ab2），≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：

ab≤

ab2

22，ab≤（ab2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。