第三章不等式X选_全国卷不等式选做题

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第三章不等式

 知识体系：

一元二次不等式

——→——→分式不等式

含绝对值不等式

指数、对数不等式

←—— ——→

 目标定位：

1．理解不等式的性质及其应用；

2．掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题；

3．掌握一元二次不等式的解法，并能用于解决一些简单的实际问题；掌握简单的分式不等式和绝对值不等式的解法；

4．掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式。

 复习指南

本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和基本不等式及其最值方面的应用为重点，常与函数、方程、三角、数列、解析几何等综合考查，单独考查不等式的较少。

本章主要考查了函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法。另外，含参数的不等式问题，以及不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍是今后高考命题的热点。

 注意事项：

本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此，复习中应注意：

1．不等式性质的复习，要准确把握其条件与结论的关系；

2．不等式证明的方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法等，这些方法可作了解，但要控制量与度，切忌喧宾夺主；

3．解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来；

4．利用基本不等式解决最大（小）值问题，应满足三个成立条件：

一“正”（正数范围）、二“定”（定值条件）、三“相等”（等号成立）；

5．含有绝对值的不等式（问题），要理解绝对值的定义，合理利用绝对值的几何意义；

6．要注意不等式的应用问题，以及不等式与函数、方程的联系。

3．1不等式的性质

 知识梳理

1．比较法：a－b＞0a＞b；a－b=0a=b；a－b＜0a＜b。

2．性质：（1）a＞b，b＞ca＞c；（2）a＞ba+c＞b+c；

（3）a＞b，c＞da+c＞b+d；

（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；

（5）a＞b，ab＞0

（7）a＞b＞0n1a＜1b；（6）a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd； a＞nb（n∈N，n＞1）；

（8）a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1），特别：a＞b＞0a2＞b2。

13．基本不等式：

（1）当a、bR时，a2b22ab（当且仅当ab时等号成立）；（2）当a、bR时，ab2ab（当且仅当ab时等号成立），即（几何平均数）ab

推广：

21a1b

ab

ab

2（算术平均数），a

ab2



b2

（当且仅当ab时等号成立）。

特别提示

（1）最值（均值）定理：若a、bR，abS，abP，① 若P为定值，则当ab时S的最小；

② 若S为定值，则当ab时P的最大。

（2）若ab0，则

baab

2（当且仅当ab时等号成立），1x

2（当且仅当x1时等号成立）。

特别地，若x0，则x

 双基训练：

1．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是（）．．

A．

2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，ca

1a

＞

1b

B．2a＞2bC．|a|＞|b|D．（1

2）a＞（12）b

－

db

＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）

A．0B．1C．2D．

3ππ

3．设（0，），［0，］，则2的取值范围是

 典例剖析

例1 已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围． 解：

思考讨论

已知函数f（x）=ax2－c，满足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值．

例2 比较1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小． 解：

深化拓展

函数f（x）=x2+（b－1）x+c的图像与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1．当t＜x1时，比较t2+bt+c与x1的大小．

 小结

1．不等式性质是解决不等式问题的基础，比较法又是学习不等式的基石；2．基本不等式是求函数最大（小）值的重要方法，且要注意其三个条件：

“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”．

3．2不等式的应用

 知识梳理

1．运用不等式求一些最值问题．

用a+b≥2ab求最小值；用ab≤（ab

2）≤

a

b2

求最大值．

2．某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明．3．求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）．

4．三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系．5．利用不等式可以解决一些实际应用题．

 双基训练：

1．已知函数f（x）=log1（x2－ax+3a）在[2,)上是减函数，则实数a的范围是

2．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是

3．如果0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且logaxlogay=1，则xy（）

A．无最大值也无最小值B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值D．有最大值也有最小值

4．已知实数x、y满足

2x4x30，5．已知不等式组2的解集是不等式

x6x80

xy

=x－y，则x的取值范围是

2x2－9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是

 典例剖析

例1 已知x、y∈R+且解：

2x

+

8y

=1，求x+y的最小值．

由本题的启发，你能解下列问题吗？

已知a、b是正常数，a+b=10，又x、y∈R+，且

ax

+

by

=1，x+y的最小值为18．

求a、b的值． 解：

例2 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0且bc≠0）．

（1）若| f（0）|=| f（1）|=| f（－1）|=1，试求f（x）的解析式；

（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图像在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜l≤2，试确定c－b的符号． 解：

 小结

1．不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题．2．利用基本不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等．

3．化归思想在本节中，涉及等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，并且对于这些转化，一定要注意条件．

3．3不等式的解法

 知识梳理

1．一元二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0），其中a＞0解法：

大于取两边，小于取中间．

2．分式不等式的解法：

（1）

f(x)g(x)

（2）0f(x)g(x)0；

f(x)g(x)0

． 0

g(x)0g(x)f(x)

3．绝对值不等式的解法：

（1）|x|＞ax＞a或x＜－a（a＞0）；（2）|x|＜a－a＜x＜a（a＞0）．（3）形如|x－a|+|x－b|≥c的不等式解法，通常采用“零点分段讨论法”．

 双基训练：

1．若不等式|ax+2|＜6的解集为（－1，2），则实数a等于

2．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1）、B（3，1）是其图像上的两点，则| f（x+1）|＜1的解集是3．（理）不等式x2－|x－1|－1≤0的解集为

（文）不等式ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b =

4．不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式ax2－bx+c＞0的解集为

5．不等式|2x2－1|≤1的解集为

6．已知不等式a≤

7．已知不等式|2x－t|+t－1＜0的解集为（－

2x

2

|x|

对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是，12），则t=

 典例剖析

例1 求实数m的范围，使y = lg［mx2+2（m+1）x+9m+4］对任意x∈R恒有意义． 解：

思考讨论

本题若要使值域为全体实数，m的范围是什么?

例2 若不等式2x－1＞m（x2－1）对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围． 解：

例3 解不等式 |2x+1|+|x－2|＞4． 解：

例4 设函数f（x）=ax+2，不等式| f（x）|＜6的解集为（－1，2），试求不等式

xf（x）

≤1的解集．

解：

例5 某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．

（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?

（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买的面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由． 解：

 拓展题例

例1 解关于x的不等式

ax

ax

1＞x（a∈R）．

解：

例2f（x）是定义在（－∞，3］上的减函数，不等式f（a2－sinx）≤f（a+1+cos2x）对一切x∈R均成立，求实数a的取值范围． 解：

3．4不等式的证明

 知识梳理

1．比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b．（商法：a＞0，b＞0，＞1a＞b）

ba

比较法证明不等式，是不等式证明的最基本的方法．

2．综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性等，导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”．

3．分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”．

 双基训练：1．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+

2．若不等式（－1）a＜2+

n

1a

≥2．其中一定成立的序号是

（1）

n

n

1对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是

3．在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，„），则an+1与bn+1的大小关系是

 典例剖析

例1 已知a、b、x、y∈R+且证：

例2 已知a＞1，n≥2，n∈N*．求证：a－1＜

a1n

1a

＞

1b，x＞y．求证：

xxa

＞

yyb

．

．

证：

 小结

1．比较法有两种形式：一是作差，二是作商．作差法是证明不等式中最基本方法．2．综合法是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论．3．分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式．

4．探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，两法结合在证明不等式中经常遇到．

由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，因此，不等式的证明除了常用的三种方法外，还需了解其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（三角换元）以及数学归纳法等．