均值不等式的正确使用及例题_均值不等式例题及答案

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均值不等式的正确使用及例题

利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。

（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准 a2b2abab2均值不等式是指，ab(a,bR)，它的变形式子有ab()，ab22

2(ab)2

2(a2b2)等。由此可知，在求ab的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？

通过比较发现，若已知ab是定值，求ab的最大值可使用第一个不等式；若已知a2b2是定值，求ab的最大值可用第二个不等式，若求ab的最大值可用第三个不等式。

（二）使用均值不等式求最值，定值是前提

例1.已知正数a、b满足2a2b23，求ab21的最大值。

（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立

2例2.已知ab0，求a4的最小值。b(ab)

二.均值不等式的应用

（一）用于比较大小

例1.若ab1，Plgalgb，QA．RPQ

例2.若pa B.PQR 1ab，则（）(lgalgb)，Rlg22 C.QPRD.PRQ 12(a0)，qarccost(1t1)则下列不等式恒成立的是（）a

A.pqB.pq0C.4pqD.pq0

（二）用于求取值范围

例3.若正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是。

（三）用于证明不等式

例4.已知i、m、n是正整数，且1imn，求证：(1m)n(1n)m.三.均值不等式中等号不成立时最值的求法

利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”。在解题的过

程中，有时往往出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的失效现象，下面浅析此时的应付对策。

（一）平衡系数，实施均拆

这是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等。

例1.求函数y3x1(x0)的最小值。x

2（二）引入参数，巧渡难关

例2.用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

（三）依函数单调性处理，简捷迅速

例3.求函数yx2

5x

42x212

x422(xR)的最小值。的最小值。例4.求函数y

（四）分项拆项，观察等号 对于函数f(x)pxq(p、qR，x(0，c])x的最值，当直接使用均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号。

例5.已知x[0)，求函数y1sinx

22的最小值。1sinx

（五）利用化归思想解决两次均值不等式等号不成立时的问题

22例6.设实数m，n，x，y满足mn4，x2y29，求mxny的最大值。

四.解决最值问题的不等式模型

最值问题一直是高考试题中的一个热点，几乎年年都有所涉及。同时在解题的过程中，不难发现求最大（小）值问题，绝大多数都可转化为不等式问题。下面就总结一下解决最值问题的六个常用不等式模型。

2（一）运用“x0”模型

22对任意的xR，有x0恒成立，运用x0等号成立的条件，可解决二次函数型的最值，同时要区分在闭区间的最值问题。

例1.已知x、yR，且xy1，求x2y2的最小值。

例2.函数ycos2x3cosx2的最小值为（）

A.2B.0C.

（二）运用“0”模型 1D.6

4将函数看作关于自变量的方程，常可化为一元二次方程ax2bxc0(a0)，运用“xR,b24ac0”求函数的最值。

例3.如果实数x,y满足(x2)2y23，那么

A.y的最大值是（）x331B.C.D.3 32

2，|cosx|1”模型

（三）运用“|sinx|

1此法主要用于求三角函数或可转化为三角函数的最值问题，解法是先化为关于正余弦函数的，|cosx|1来完成。一次式，再利用有界性即|sinx|1

例4.定义在R上的函数f(x)sinxcosx的最大值是____。

例5.函数f(x)3sinxcosx4cos2x的最大值是_______。

（四）运用“a,bR，ab2ab”模型

利用二元均值不等式求最值，应注意遵循条件“一正二定三相等”。

例6.若实数a、b满足ab2，则3a3b的最小值是（）

A.18B.6C.23D.2 

（五）运用“a、b、cR，abcabc”模型

在高考中，对于均值不等式应用已限制在二项或三项，在中学知识范围内，对三次函数求最值，运用均值不等式是行之有效的方法，但必须要符合“一正二定三相等”三条件。

例7.已知sin2sin2sin21(、、均为锐角），那么coscoscos的最大值等于

（六）运用“f(x)f(a)或f(x)f(b)”的模型

对于较困难用以上五种常用不等式模式解决的最值问题，可通过数形结合或单调性等法，得到“f(x)f(a)或f(x)f(b)”的通用模型，用等号成立条件而获解。

x22xa1，x[1，)，当a时，求函数f(x)的最小值。例8.已知函数f(x)x2

2x3，x0，0x1的最大值是_____。例9.f(x)x3，x5，x1

例10.四边形ABCD的两条对角线相交于O，如果AOB的面积为4，COD的面积为16，求四边形ABCD的面积S的最小值，并指出S最小时四边形ABCD的形状。