高三数学均值不等式_高三数学不等式的解法

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3.2 均值不等式 教案

教学目标：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用

教学重点：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

利用均值定理求极值

教学过程

一、复习：

1、复习不等式的性质定理及其推论

1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：

4、若(1)、若(2)、若(3)、若23aⅱ）a2b22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,bⅲ）3以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使C作垂直于直径

2AB的弦DD′,那么CDCACB，即CDab

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这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与圆，显然，它不小于CD，即2

2心重合；即a=b应用例题：

例

1、已知a、b、c∈R，求证：

不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。

例

2、若

a,例3证明：∵222∴abcabbcca 例

4、已知a,b,c,d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得abcdacbd

0,0.2

2由不等式的性质定理4的推论1，得

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(abcd)(acbd)abcd.4即(abcd)(acbd)4abcd

归纳小结

定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取“”号).22、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键。巩固练习

P71 练习A，P72 练习B。

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