一个 n元分式不等式的简证与推广_一元分式不等式的解法

一个 n元分式不等式的简证与推广由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“一元分式不等式的解法”。

一个 n元分式不等式的简证与推广

江苏省常熟市中学 査正开 215500

***（0512-51318896）zhazhengkai3@163.com

《数学通报》2011第6期陈运，王勇（文[1]）对《中学数学》2007.7，P41的一个定理： 若a,b,c,dR,abcd1，则

给出了一个类似的n元不等式：11111024(1a2)2(1b2)2(1c2)2(1d2)2289

1n5

2命题：若x1,x2...xn是非负实数，xi1,n3，求证： 222(1x)(n1)i1i1inn

文[1]通过两个引理

1n4

2[(n25)4nx] 引理1：若n4，且0x1或n3，且0x0.7，则223(1x)(n1)

引理2：若0.7x1，则f(x)321243(x22x5)2(1x2)2100

再利用凸函数理论（琴生不等式）证明了这一命题。但证法冗长复杂且不自然流畅，本文采用构造函数利用一阶导数给出它的简证并作推广，供参考。

证明：设fx1

1x

3220x1 fx4x1x21n411，x时，f，222nn1n112n

14n5 kf332n1n112n4

yn4

n2121x3n21n4n5，y4n5

n213x4n4n213n4n2124n5n213xn65n4n213

记gx

1xn

4x



4n5

1

x

n65n4

n

1

x0,1

gx

1xn







4n

1

4n51x2xn21 33

1x2n213

设hxn51x2

xn21,0x1

hx3n51x22xn21

32121

又h3n512n21n215n2

nnn

11

当n3时，h0，又∵hx在0,1上单调递增，∴x0,时，hx0，hx

nn

111

在0,上单调递减∵h0 ∴x0,时，hx0，gx0

nnn

31

① 当h124n5n210时，hx在,1上为负

n



111

∴hx在,1上也单调递减∵h0，∴hx0，则x,1时，gx0

nnn

1111

从而可知gx在0,上递增，在,1上递减，当且仅当x时，gxmaxg0

nnnn1

② 当h10时，令h0，则hx在,上为负，在,1上为正，从而hx在n1

,上递减，在,1上递增。n

令h0，则hx的图像如图：

从而可知，gx的图像如图：

14n5n65n43n616n517n43n211

又∵g0，g10n4 333222n4n1n14n1



∴当且仅当x

11

时，gxmaxg0 nn

综合①②当0x1时，1xn

n65n4



4n5

1

x

n65n4

n

1

0

即

1x

n



4n5

n

n

1

x

n

n

1

∵xi0,1且xi1

i1

∴

i1

1x

i



4n5

n

1

x

ii1

n75n5

n

1



n7n5

n

1



n5

n

1

由以上证明过程可知，当且仅当x1x2xn

时，取“=”，同时只有在n4时不等n

式成立，又n3时，易证不等式成立，∴命题成立。

采用此法，不难将这一命题作进一步推广：

1nk1

k(k2)命题1若x1,x2...xn是非负实数，xi1，n3，则k

1xn1i1i1i

n

n

1n2k1

k(k2)命题2若x1,x2...xn是非负实数，xi1，n3，则k22(n1)i1i1(1xi)

n

n

1nkt1k(k2,t1)命题3若x1,x2...xn是非负实数，xi1，n3，则ktt

(1x)(n1)i1i1i

n

n

参考文献：

1.陈远新，王勇一个n元分式不等式[J].数学通报.2011.6

2.周斌.构造切线证明一类对称不等式[J].中学数学研究.2011.1

2012-3-17