不等式的方法归纳[优秀]_解不等式的方法归纳

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不等式的基本性质

①对称性：a > bb > a不等式

②传递性: a > b, b > ca > c

③可加性: a > b a + c > b + c

④可积性: a > b, c > 0ac > bc；

a > b, c

⑤加法法则: a > b, c > d  a + c > b + d

⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0  ac > bd

⑦乘方法则：a > b > 0,  an > bn(n∈N)

⑧开方法则：a > b > 0, nanb(nN)

2．算术平均数与几何平均数定理：

（1）如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a=b时等号）

（2）如果a、b∈R＋,那么ab

2ab（当且仅当a=b时等号）

222abab如果a,b为实数，则ab 22

重要结论

1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；

（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。

3．证明不等式的常用方法：

比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。

结论：已知a、b、m都是正数，且 abam

bma

b

4．不等式的解法

（1）不等式的有关概念

同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形

1叫做同解变形。

提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项（2）

不等式ax > b的解法

②当a

③当a=0时,b

（4）绝对值不等式：解绝对值不等式的关键是—去绝对值符号（整体思想，分类讨论）转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：

（1）定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号；（2）公式法：| f(x)| > a f(x)> a或f(x)

（3）平方法：| f(x)| > a(a>0)f2(x)> a2；| f(x)| 0) f2(x)

把不等式化为f(x)＞0（或＜0）的形式（首项系数化为正），然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。（7）含有绝对值的不等式 定理：|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

|a| － |b|≤

中当b=0或|a|>|b|且ab

|a+b|≤|a| + |b|

①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a}；

中当且仅当ab≥0等号成立

推论1：｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3| 推广：｜a1 + a2 +…＋ an| ≤｜a1 | +| a2 | +…+ | an| 推论2：|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b|

专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立

1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是（C）

A、若a>b，则|a|>|b|B、若a>b，则1/ab，则a3>b3D、若a>b，则a/b>12、已知aab>ab2B、ab2>ab>a C、ab>a>ab2D、ab>ab2>a3、当0(1―a)bB、(1+a)a>(1+b)b C、(1―a)b >(1―a)b/2D、(1―a)a>(1―b)b4、若loga3>logb3>0，则a、b的关系是（B）A、0a>1C、0

1

5、若a>b>0，则下列不等式①1/ab2；③lg(a2+1)>lg(b2+1)；④2a>2b中成立的是（A）A、①②③④B、①②③C、①②D、③④

（二）比较大小

1、若0

2、a、b为不等的正数，n∈N，则(ab+ab)－(aA、恒正B、恒负

C、与a、b的大小有关D、与n是奇数或偶数有关

3、设1＜x＜10，则lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小关系是lgx2>lg2x>lg(lgx)

4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。

n

n

n－

1+b

n－1)的符号是（C）

5、比较

ba

与

ab的大小。

a1－a与N

A＝

ab

2a－a－1的大小。，G＝ab，H＝

21/a1/b，Q＝

ab26、若a1，比较M

7、设a、b是不相等的正数，试　比较A、G、H、Q的大小。

分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法（作差）即可。

（三）利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件

1、设x、y∈R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系 ⑴命题甲：x>0且y>0，命题乙：x+y>0且xy>0充要条件 ⑵命题甲：x>2且y>2，命题乙：x+y>4且xy>4充分不必要条件

2、已知四个命题，其中a、b∈R

①a2

3、“a+b>2c”的一个充分条件是（C）

A、a>c或b>cB、a>c或b＜cC、a>c且b>cD、a>c且b＜c

（四）范围问题

1、设60＜a＜84,－28＜b＜33,求：a+b,a－b,a/b的范围。

2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(―1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(―2)的范围。

（五）均值不等式变形问题

1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是（D）

A、a2+b2≥2|a|•|b|B、(a/2+b/2)2≥abC、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|•|b|)

2、x、y∈(0,+∞)，则下列不等式中等号不成立的是（A）

A、x

1x



1x

1x

2B、(x

1x)(y

1y)

4C、(x+y)(1/x+1/y)≥4D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/23、已知a>0,b>0,a+b=1，则(1/a2―1)(1/b2―1)的最小值为（D）A、6B、7C、8D、94、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c≥95、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：

（六）求函数最值

1、若x>4,函数yx

5、大、－62、设x、y∈R, x+y=5，则3x+3y的最小值是（）D

A、10B、63C、46D、183、下列各式中最小值等于2的是（）D A、x/y+y/xB、adbcbd



bcadac



414x，当x____时，函数有最＿值是_____。

x5x4

C、tanα+cotαD、2x+2－x4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。（（八）比较法证明不等式

1、已知a、b、m、n∈R+,证明：am+n+bm+n≥ambn+anbm 变：已知a、b∈R+,证明：a3/b+b3/a≥a2+b22、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明：对任意实数p、q恒有a•f(p)+b•f(q)≥f(ap+bq)

（九）综合法证明不等式

1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：

bca

a



acb

b



abc

c



32、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/33、已知a、b、c为不全相等的正数，且abc=1,求证：

abc

1a



1b



1c4、已知a、b∈R+，a+b=1,求证：

（十）分析法证明不等式

a1/2b1/2

21、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c2、已知函数f(x)=lg(1/x－1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求证：

f(x1)f(x2)

xx2f1

2

3、设实数x,y满足y+x2=0,0

（十一）反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式

1、设f(x)=x2+ax+b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。

2、若x2+y2≤1,求证|x2+2xy－y2|≤

3、已知a>b>c,求证：

2.

4aca1a



1ab



1bc4、已知a、b、c∈R＋，且a+b>c求证：

b1b



c1c

.5、已知a、b、c∈R，证明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等号何时成立。分析：整理成关于a的二次函数f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2 ∵Δ=(c+3b)－4(3b2+3bc+c2)=－3(b2+2bc+c2)≤0

∴f(a)≥06、已知：x2－2xy + y2 + x + y + 1＝0，求证：1/3≤y/x≤

37、在直角三角形ABC中，角C为直角，n≥2且n∈N，求证：cn≥an + bn8、设an求证：

223(n1)

2x

334

n(n1)(nN)

n(n1)

an

对所有正整数n都成立。

（十二）解不等式

1、解不等式：

1x

1

3x

22、解关于x的不等式：

axxx

20

（十五）绝对值不等式定理中等号成立的问题

1、解关于x的不等式|x+log2x|=x+|log2x|

2、证明：|x+1/x|≥

2（十六）绝对值不等式的证明

1、设a∈R，函数f(x)=ax2+x－a(－1≤x≤1).⑴若|a|≤1,求证|f(x)|≤5/4；

⑵若函数f(x)有最大值17/8，求实数a的值。

2、已知|x－a|＜ε/2a,|y－b|＜ε/2|a|,且0＜y＜A，求证：|xy－ab|＜ε