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均值不等式
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1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。
目录 均值不等式的简介
均值不等式的变形 均值不等式的证明
均值不等式的应用
其他不等式
重要不等式2.排序不等式
重要不等式5.均值不等式 重要不等式1.柯西不等式
柯西不等式的一般证法有以下几种：
（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：
记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai * bi)^2.我们令 f(x)= ∑(ai + x * bi)^2 =(∑bi^2)* x^2 + 2 *(∑ai * bi)* x +(∑ai^2)则我们知道恒有 f(x)≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 *(∑ai * bi)^22.排序不等式 排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.证明时可采用逐步调整法。
例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1，值变小，只需作差证明（a 1-a 2）*（b 1-b 2）≥0，这由题知成立。
依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。
重要不等式4.琴生不等式
设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.重要不等式6.完全的均值不等式 √[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
证明：（证明过程引自他出）
设a，b是两个正数，M2=√[(a^2+b^2)/2]，A=(a+b)/2，G=√(ab)，H=2/(1/a+1/b)分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。
证明: M2≥A≥G≥H。
证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。
如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。如果E2F2为梯形的中位线，那么E2F2=(a+b)/2。
如果E3F3分梯形为两相似图形，那么E3F3=√(ab)。
如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么E4F4=2/(1/a+1/b)。从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。
重要不等式几何平均（0次幂），二次平均（2次幂）
概念
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、…、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r
变形
(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b
(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）
