T2 中国麻将中的数学问题_数学建模麻将问题

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T2 中国麻将中的数学问题

七院一队：韩翔 罗皓飞 高欣飞

编号：7503

摘 要

麻将起源于中国，它不仅具有独特的游戏特点，而且具有集益智性、趣味性、博弈性于一体的运魅力及内涵丰富、底蕴悠长的东方文化特征，成为中国传统文化宝库中的一个重要组成部分。越来越多的研究表明：麻将里面蕴藏着历史的、哲学的、数理的、心理的、逻辑学的、医学的等各门类的知识和秘密。

这里通过麻将规则中的番值、各种牌型的分析来计算，各种番值糊到的概率大小而分析番值种类的合理性和规律，并结合国家体育中心关于麻将比赛番值分布统计结果，此处建立一般的计算概率的模型，做出部分合理的必须的假设，计算出各种牌型出现的概率，模型能反映出概率的变化并利用既得概率，相比较分析出相应的比值，以及牌型规定番值的比，看两者是否成线性比，来看番值规定的合理性与规律，通过对模型的处理可得到大致的规律为：牌型发生的概率越小，其番值越大。并且呈一定的线性比，但番值规定存在一定的不足不能很好的反映牌型发生的可能性大小。

一、问题重述

麻将取胜得到的番值越大，概率就越小，试分别计算表中各种情况的概率。

二、假设

1.比赛相对公平公正，参加人员水平相当，水平发挥正常，无意外情况发生； 2.打牌、摸牌均是随机事件，且打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的； 3.不使用字牌中的花牌；

4.手中的牌与所有的牌性质一样，但因为手中的牌是人通过主观推断而留下来的牌，则其更有利，即更容易组成对子、顺子、刻子，其比随机事件更好。即手中的牌有用率比打出的牌或未摸完的牌服从线性比，设其为P；

5.手中的牌能够成为刻子、顺子、对子等的概率与整副牌随机组成刻子、顺子、对子的概率成正比；

6.各种可能的糊牌牌型是等可能的。

三、符号说明

Ci代表番值 Pi对应番值Ci的概率

四、问题分析

先初步估计CiPjCjPi，估计可能会有个别特殊例子。模型中糊的番数越大则其相应的的概率越小，通过模型算出各番种的概率，比较各番种概率的比值，从而对番种分值确定的合理性做出判断，找出确定分值的误差。可以根据找出的不同番种的概率分析出其中的规律，与第六项番种分值确定的规律比对，得出正确规律。

五、模型的建立与求解

建立一般求解概率模型

53因为人手中必须有53张牌才能糊，即糊的一家14张牌其余三家各13张牌，共有C136种组合。

1.大三元：

对于大三元，因为其牌型规定必须有“中发白”三副刻子，所以至少有“中发白”个三张，故至少有九张牌确定。

其组合种数有43种。

由假设，打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的，因为要糊大三元所以“中发白”三副刻子必

44须在一家人手里。而这三副刻子在一家人手里的概率为149，对于其余的44张牌，有C127种组合。

糊大三元的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111

7433对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为； 3C108对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

94344； 3C124对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

963-464。2C1247433由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为P1=P，3C10894344P，P3=963-464P。P2=32C124C12444C127431由以上分析知，有“中发白”三副刻子在一家人手里的概率为9，对于两种可能的53C1364糊牌牌型，其概率为等可能的，即1/3。

对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为P1P2； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为P1P3。可得：

大

三

元

牌

型的概

率

为44C12743117433943447433963-4644(PPPP)由附53933322C1364C108C124C108C124件可知出现频数为6310016实际频数：3279519232。

2.小四喜

33因为和牌时有风牌的3副刻子及将牌，所以对风牌的这三副刻子的排列数有C34(C4)种。确

44定了这9张牌之后人手中还剩44张牌，这44张牌的排列组合数为C129。

糊小四喜的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111

7433对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为； 3C108对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

94344； 3C124对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

963-464。2C1247433由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为P1=P，3C10894344P，P3=963-464P。P2=32C124C124443C127C34C4由以上分析知，有风牌的三副刻子在一家人手里的概率为53C13631，对于两种可能49的糊牌牌型，其概率为等可能的，即1/3。

对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为P1P2； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为P1P3。可得：3小四喜牌型的概率为443C127C34C453C136117433943447433963-46494(PPPP)333224C108C124C108C1243.小三元

22因为和牌时有箭牌的2副刻子及将牌，所以对将牌的这三副刻子的排列数有C3(C34)种。确47定了这6张牌之后人手中还剩47张牌，这47张牌的排列组合数为C130。

糊小三元的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111(3)11、123、123、111、111

7433对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为； 3C108对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

943； 3C128对刻子111分析，为风牌、箭牌的概率为

444； 3C128963-4。2C128对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

C246对将牌11分析，为风牌、箭牌的概率为43

C128

7433由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为P1=P，3C108P2=943444963-4646，=PP。P332C128C128472C130C3C34由以上分析知，有箭牌的二副刻子在一家人手里的概率为53C13621，对于三种可能46的糊牌牌型，其概率为等可能的，即1/3。

对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为P1P2P3； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为P3P2P2。对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为P1P1P3 可得：2小三元牌型的概率为472C130C3C3453C136117433943444963-464664(PPP33234C108C128C128943444943444963-46474337433PPPPP 33233C128C128C128C108C108963-4646P)3C128

4.清一色

如果要糊清一色则至少必然要有14张同一种花色的序数牌。组合数为3C1436。

39对于其余人手中的39张牌其组合数有C123种。

糊清一色的牌型可以为：

(1)11、123、123、123、123(2)11、123、123、123、111(3)11、123、123、111、111(4)11、123、111、111、111(5)11、111、111、111、111 任取一种花色14张牌，因为要糊清一色，设这14张牌为糊牌人手中的牌型。

743对于一种花色任取三张为123的概率为3

C36设其样本空间很大可以看成是有放回的抽样，所以取到111的概率为96。2C3694，而取到将牌11的3C36概率为

39因为有上边假定取得14张牌，则其它人手中还有39张牌，其排列数为C122。

96743P； 对于牌型(1)，其概率为23C36C3696743对于牌型(2), 其概率为23C36C3694C3P；

3634223967494P； 对于牌型(3), 其概率为233C36C36C36967494P； 对于牌型(4), 其概率为233C36C36C369694P。对于牌型(5), 其概率为23C36C36433由以上可得清一色的概率为，43223339674967494967494PP23P223333C36C36C36C36C36C361C36C364 其余34596743949694P23P233CCCCC363636363639C12253C136番值计算同理可得：„„

（由于时间原因，只对其余的番值做了定性估测）

六、模型检验

在网上校对有关麻将迷友们的经验和总结，基本符合上述模型。

七、结果分析

1、合理性

⑴有已知模型分析可知，绝大部分番值（除青龙和花龙外）满足：番值越高，概率越小。⑵由题中所取的模型计算可知：16番青龙和8番花龙牌型出现的概率是相同的，对于模型来说这是不合理的，但实际上由于青龙牌型的花色较为单一，而花龙的牌型的花色则更为繁杂，因此一般情况下人们会主观地倾向于糊花龙而放弃去糊青龙，这实际上加大了糊青龙的难度，减少了它出现的概率。故此处将青龙的番值设定为比花龙大的番值是具有实际合理性的。

2、规律性

越高番值越难以发生，大多是小概率事件。

3、不足

我们经常见到有人胡大三元，而很少人胡到清一色、青龙、全大。加上很多人半途而废，还有对手的屁胡打乱，能胡以上满贯的，实在是难上加难了！

八、模型的进一步讨论

但参加人员的水平悬殊时，主观因素也会占一个相对较大的比例来影响最终的结果。此时水平较高的人实现番值Ci的概率Pi修正为Pi`Pi(1Q)，Q0取决于该水平反差的大小，如心理素质，智力水平等。如上面提到的青龙与花龙的番值设定现象便是很好的一个例子。

九、模型优缺点

优点：

1.通过对各番值类别的概率分析及番值类别，能够较好的掌握糊牌时各种番值牌型的规律； 2.较适于正规的比赛场合及客观因素显著重要的地方；

3.能较好的体现麻将作为一种赌博的投机性，也可以较好的体现它的投机益智性。

缺点：

1.忽略人的主观因素，建立模型过于简单。

2.较难对主观因素具体把握，从而缺乏一定的现实性； 3.麻将的博弈性没有得到充分体现。

参考文献

[1] 张兴永，数学建模简明教程，中国矿业大学出版社，2001 [2] 姜启源，数学建模，高等教育出版社，1998 [3] 匿名，满贯牌的的牌型和概率，http://popogame.netease.com/view...&extra=page%3D1，2007-5-22

附录：

满贯牌的的牌型和概率

国标胡出满贯，是很多麻友的追求。什么样的满贯牌更容易胡牌？针对国标的满贯规定，我们不妨来看看各种满贯牌的的牌型和概率。

基础概率比较环境：门清自摸胡出。

可以不需门清的系数：

刻：4.706

顺：5.069

杠：1.309，大三元(不需门清)

牌型一：中中中白白白发发发AABBB

牌型二：中中中白白白发发发AAXYZ－1(A为字牌)

牌型三：中中中白白白发发发AAXYZ－2(A为数牌里面的1、9)

牌型四：中中中白白白发发发AAXYZ－3(A为数牌里面的2、8)

牌型五：中中中白白白发发发AAXYZ－4(A为数牌里面的3、4、5、6、7)

由此可知其胡牌效果有1872种，胡牌形式有12009种，出现频数为6310016

实际频数：3279519232

2，大四喜(不需门清)

牌型：东东东南南南西西西北北北AA

由此可知其胡牌效果有30种，胡牌形式有150种，出现频数为46080

实际频数：22600610

3，七连对

牌型一：11223344556677

牌型二：22334455667788

牌型三：33445566778899

9种，胡牌形式有63种，出现频数为2519424

4，十三幺

牌型一：十三听将

牌型二：听一门

由此可知其胡牌效果有13种，胡牌形式有169种，出现频数为100663296

5，四杠(不需门清)

牌型：AAAABBBBCCCCDDDD EE

由此可知其胡牌效果有278256种，胡牌形式有278256种，出现频数为8347680

实际频数：24508932

6，九莲宝灯

牌型：1112345678999

由此可知其胡牌效果有27种，胡牌形式有27种，出现频数为18087936

7，绿一色(不需门清)

牌型一：AAABBBCCCDDDEE

牌型二：234AAABBBCCCDD

牌型三：234234AAABBBCC

牌型四：234234234AAABB

牌型五：234234234234AA

由此可知其胡牌效果有31种，胡牌形式有101种，出现频数为47106

实际频数：26396777

由以上分析，满贯的难易顺序如下：(由难到易)

七连对————1

九莲宝灯——－7

大四喜――――9

四杠―――――10

绿一色――――10

十三幺――――40

大三元――――1030

这就是为什么我们经常见到有人胡大三元、十三幺、绿一色，而很少人胡到七连对、九莲宝灯、大四喜、四杠的原因。加上很多人半途而废(四杠－对对胡、三杠；大四喜－小四喜、三风刻、混一色；九莲宝灯－清一色、青龙、混一色；七连对－混一色、青龙)，还有对手的屁胡打乱，能胡以上满贯的，实在是难上加难了！