第五章+大数定律与中心极限定理_第5章中心极限定理

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概率论与数理统计教案—运怀立

习题五

一、填空题

1．设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{XEX2}．

解 由题设，已知DX2，直接应用切比雪夫不等式，即

P{XEX2}

DX

22

4

2．设随机变量X和Y的数字期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式P{XY6}．

解 由题设，已知EX2,EY2,DX1,DY4,XY0.5，则

E(XY)EXEY0

D(XY)DXDY2COV(X,Y)DXDY2XY

142(0.5)

4

3DX

DY

故由切比雪夫不等式，得

P{XY6}



112

3．设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则P{anb}．

解 由题设知n~B(n,p)，则依中心极限定理得 P(anb)P（





anpnp(1p)

bnp



nnpnp(1p)



bnpnp(1p))



np(1p)



np(1p)anp

4．设随机变量X的数学期望EX，方差DX，则由切比雪夫不等式，有P{X3}．

解 由切比雪夫不等式，得

P{X3}



(3)



5．设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n时，Yn

n

Xi依概率收敛于．

n

i

1解 根据简单随机样本的性质，X1，X2，，Xn相互独立且都服从参数为2的指数分

布，因此X12，X22，，Xn也都相互独立且同分布，且它们共同的期望值为

E(Xi)D(Xi)(EXi)

DX(EX)



121

() 422

根据辛钦大数定律，当n时，Yn

n

Xi依概率收敛于其期望值

n

i1

二、单项选择题

设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，SnX1X2Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,,Xn []

(A)有相同的数学期望(B)有相同的方差

(C)服从同一指数分布(D)服从同一离散型分布

解 列维一林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理：当X1,X2,,Xn独立同分布且

E(Xi),D(Xi)

(i1,2,,n)时，X1,X2,,Xn服从中心极限定理．由此知，(A)、(B)中没有同分布的条件，(D)中无期望、方差存在的条件，只有(C)满足所有条件，故正确选项为(C)．

三、解答题

1．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克．若用最大重量为50吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977．[（2）0.977, 其中（x）是标准正态分布函数]

解 设Xi(i1,2,,n)表示“装运的第i箱的重量”（单位：千克），n是所求箱数，由已

n

知条件X1,X2,,Xn是独立同分布的随机变量．设n箱的总重量为Tn，则Tn



i1

又Xi．

由题设，E(Xi)50,D(Xi)25,i1,2,,n，从而E(Tn)50n,D(Tn)25n（单位皆为千克）．由中心极限定理，知Tn近似服从参数为(50n,25n)的正态分布，即

N(50n,25n)．由条件

Tn50n5n

500050n

5n

P{Tn5000}P{

（100010n

n)0.977(2)

可得出

100010n

n

2，即n98.0199，所以最多可以装98箱．

2．在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率．

解 设X表示“在1000次独立试验中，事件A发生的次数”，则X~B(1000,0.5)．且

EX10000.5500,DX10000.50.5250

从而由切比雪夫不等式

PXEX501

DX50

0.9

即在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率不小于90 %．

3．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于

9点且不超过33点的概率．

解 设Xi(i1,2,,6)表示“第i颗骰子掷出的点数”，则

P(Xik)

16,k1,2,,6;i1,2,,6

从而

E(Xi)

126

72,E(X)

i

126

222



916

于是

D(Xi)E(Xi)[E(Xi)]

916



494



3512

所以有

E(Xi)

i1



i1

E(Xi)



i1

666

21,D(Xi)

i1



i1

D(Xi)

12

i1



352

故由切比雪夫不等式

P(9



i1

635/2

Xi33)PXiE(Xi)1210.88 2

12i1i1

即六颗骰子出现的点数总和不小于9点且不超过33点的概率不小于88 %．

5．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?

1,抽取的第i个产品为次品

解 设Xi

0，抽取的第i个产品不是次品

(i1,2,,n)，n是所抽取的产品数．由已

知条件X1,X2,,Xn是独立同分布的随机变量，且

E(Xi)0.1,D(Xi)0.09,i1,2,,n

n

设X表示抽取的n个产品中的次品数，则X



i1

Xi，EX0.1n,DX0.09n．由

中心极限定理，知X近似服从参数为(0.1n,0.09n)的正态分布，即N(0.1n,0.09n)．由条件

P{X10}P{

X0.1n0.3n



100.1n0.3n

1（100.1n0.3n)0.9

可得出（0.1n100.3n)0.9(1.28)

0.1n100.3n

1.28，即n146.47，所以至少应抽

取147个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9．

6．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95?

1,第i个元件正常工作

解(1)设Xi

0，第i个元件损坏

(i1,2,,100)，由已知条件X1,X2,,X100

是独立同分布的随机变量，且E(Xi)0.9,D(Xi)0.09,i1,2,,100．设X表示100

个元件中的正常工作的个数，则X



i1

EX90,DX9．由中心极限定理，知XXi，近似服从参数为(90,9)的正态分布，即N(90，9)．故所求为

P{X85}P{

X903

1.67}(1.67)0.9525

即系统的可靠程度(即正常运行的概率)为0.9525．

1,第i个元件正常工作

(2)设Xi

0，第i个元件损坏

(i1,2,,n)，由已知条件X1,X2,,Xn是独

立同分布的随机变量，且E(Xi)0.9,D(Xi)0.09,i1,2,,n．设X表示n个元件

n

中的正常工作的个数，则X



i1

EX0.9n,DX0.09n．由中心极限定理，知XXi，近似服从参数为(0.9n,0.09n)的正态分布，即N(0.9n，0.09n)．由条件

X0.9n0.3n

n3

P{X0.8n}P{（n3)0.95(1.65)

可得出

n3

1.65，即n24.5，所以n至少为25时才能保证系统的可靠程度为0.95．

7．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm，均方差为0.05 mm，规定总长度为20  0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率．

解 设Xi(i1,2,,10)表示第i个部分的长度，由已知条件X1,X2,,X10是独立同分布的随机变量，且E(Xi)2,D(Xi)0.052,i1,2,,10．设X表示总长度，则

X



i1

EX20,DX0.025．由中心极限定理，知X近似服从参数为(20,0.025)Xi，的正态分布，即N(20,0.025)．故所求为

X200.025

0.10.025

P{X200.1}P{2(0.63)10.4714

即产品合格的概率为0.4714．

8．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，并且都在区间[0.5,0.5]上服从均匀分布，求1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率．

解 设Xi(i1,2,,1200)表示第i个数的取整误差，由已知条件X1,X2,,X1200是独立同分布的随机变量，且E(Xi)0,D(Xi)

1200

112,i1,2,,1200．设X表示1200个数

相加时的误差总和，则X



i1

Xi，EX0,DX100．由中心极限定理，知X近似服

从参数为(0,100)的正态分布，即N(0,100)．故所求为

X10

P{X10}P{1}2(1)10.6826

即1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率为0.6826．