概率论与数理统计第5章作业题解_概率论第1章作业题解

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第五章作业题解

5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700.使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，E(X)7300，由切比雪夫不等式，得

P(5200X9400)P(|X7300|2100)

(X)700

1



21

7002100



.5.2 设随机变量X服从参数为的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明



1P{0X2}.解：因为X~P()，所以E(X)。故由切比雪夫不等式，得

P(0X2)P(|X|)1

2Var(X)



1





1

不等式得证.5.3设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方差是0.1千克2.求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.100

解：设第i袋大米的重量为Xi，(i =1,2,…,100)，则100袋大米的总重量为X



i1

Xi。

因为E(Xi)10，Var(Xi)0.1，所以E(X)100101000，Var(X)1000.110

X1000

由中心极限定理知，近似服从N(0,1)

故P(990X1010)P(|X1000|10)

X1000

P(||)2()1

2(3.16)120.99910.998

5.4一加法器同时收到20个噪声电压Vi,(i1,2,,20)，设它们是相互独立的随机变量，20

并且都服从区间[0,10]上的均匀分布。记V

V

k1

k，求P(V105)的近似值。

解：E(Vk)5,D(Vk)100(k1,2,,20)，由定理1，得

PV



P

P（V100(10)20V100(10

0.387)

0.387)

1P（）20

1(0.387)0.348

即有P(V105)0.34 8

5.5一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成, 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1, 为了使整个系统起作用, 至少要有85个部件正常工作.求整个系统起作用的概率 解：设正常工作的部件数为X，因为部件正常工作的概率为p10.10.9，所以X~B(100,0.9)，有E(X)1000.990，Var(X)900.19

由中心极限定理知，故所求的概率为

P(X85)1P(X85)1P（1(

X90

3

53)

X903

近似服从N(0,1))()(1.67)0.9525 33

5.6 银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金.这批债券共发放了500 张, 每张债券 到期之日需付本息1000元.若持券人(一人一张)于债券到期之日到银行领取本息的概率为0.4,问银行于该日应至少准备多少现金才能以99.9% 的把握满足持券人的兑换? 解：设领取本息的人数为X，则X~B(500,0.4)。有

E(X)5000.4200，Var(X)2000.6120

由中心极限定理知，X200近似服从N(0,1)

又设要准备现金x元，则满足兑换的概率为

P(1000Xx)P(X

x1000)（x/1000200)

依题意，要满足（x/1000200)0.999(3.1)，即要

203.1

x/1000200

解之得x(3.1200)1000233958.80

故应准备234000元的现金。

第五章《大数定律和中心极限定理》定义、定理、公式小结及补充：