第5章大数定律和中心极限定理_第5章中心极限定理

第5章大数定律和中心极限定理由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“第5章中心极限定理”。

第5章大数定律和中心极限定理

§5.1大数定律

1．依概率收敛

我们曾经指出，频率是概率的反映，随着观察次数n不断增大，频率将会逐渐靠近概率，这里讲的逐渐靠近与数学分析中的极限概念有关系吗？怎样用数学语言来描述它？设事件A在一次试验中发生的概率为p，如果观察了n次这样的试验，事件A发生了un

unu，当n增大时，频率n逐渐靠近概率p，这个nn

uu“逐渐靠近”是否可以说n的极限是p，即 limnp？遗憾的是，这种说法是不成立的，nnn

因为这个极限意味着，对任意给定的0，必然存在充分大的整数N，使得对一切nN，uu都有np成立。而我们知道，频率n是随着试验结果而变的，比如在n重贝努利试nn

unA,A,A,,A1。从验中，下面的试验结果： 还是有可能发生的，这时，而unnnn个A出现次，则事件A在n次试验中发生的频率为

而当很小时（01p），无论N多么大，也不能得到当nN时，都有成立，从而极限关系limunpnunp不成立。nn

u但注意到当n很大时，事件：np发生的概率是很小的，例如上述的unn，即n

unu1发生的概率为p(n1)pn，显然，当n时，这个概率趋近于零。因此，频率nn

uu靠近概率不是意味着limnp，而是意味着limp(np)0，或者nnnn

limP(nunp)1。n

通过对这一问题的研究，下面我们给出依概率收敛的定义。

定义1设u1,u2,,un为一随机变量序列，a为一常数，如果对于任意给定的0，总有limp(una)0或者limp(una)1成立，就称随机变量序列{un}依概率收nn

敛于a，记为limuna或者una（n）。npp

另外，机变量序列{un}依概率收敛于a也可以说成：机变量序列{un}以概率1收敛于a，或者说成：机变量序列{un}几乎处处收敛于a，这是同一个概念的几种不同的说法。

2．大数定理

1）契比雪夫大数定律

定理设相互独立的随机变量X1,X2,,Xn,分别具有均值

E(X1),E(X2),,E(Xn),及方差D(X1)D(X2),,D(Xn),，若存在常数C，使D(Xk)C,(k1,2,)，则对于任意正整数，有

1n1n

limPXkE(Xk)1 nnk1nk1

证明：由于X1,X2,,Xn,相互独立，那么对于任意的n1，X1,X2,,Xn相互独立。于是

1n1D(Xk)2nk1nD(Xk)

k1nC n

1n

令 ynXk，则由契比雪夫不等式，有 nk1

1PYnE(Yn)1

令n，则有 limPnE(Yn)1，nD(Yn)21C 2n

1n1n

即limPXkE(Xk)1.nnk1nk1

推论： 设相互独立的随机变量X1,X2,,Xn,有相同的分布，且 E(Xk)，1nD(Xk),(k1,2,)存在，则对于任意正整数，有limPXk1.nnk1

1nX该推论表明，当n很大时，事件k的概率接近于1。一般地，我们称概nk12

率接近于1的事件为大概率事件，而称概率接近于0的事件为小概率事件，在一次试验中大概率事件几乎肯定要发生，而小概率事件几乎不可能发生，这一规律我们称之为实际推断原理。

2）贝努里大数定律

设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，mp1.n

1第k次试验A发生证明：令XK(k1,2,)，X1,X2,,Xk是n个相互

0第k次试验A不发生

独立的随机变量，且E(Xi)p,D(Xi)pq1.又 mX1X2Xk，因而由推论则对于任意正整数，有limPn

4.1有

mlimPp1nn

n1limPXkp1nnk1

定理4.3我们称之为贝努利大数定律，它表明事件A发生的频率n依概率收敛于事件A的概率p，也就是说当n很大时事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。根据实际推断原理，当试验次数很大时，就可以利用事件发生的频率来近似地代替事件的概率。

定理3（辛钦大数定理）设1,2,,n,是相互独立的随机变量序列，它们服从相同的分布，且具有有限的数学期望 Eia,i1,2,,n，则对任意的0，有

1nlimPia1。nni1

§5.2中心极限定理

1．依分布收敛

定义：（依分布收敛）设随机变量Xn、X的分布函数分别为Fn(x)及F(x)，如果任意L使得Fn(x)及F(x)连续的点x，都有Fn(x)F(x)，则称Xn依分布收敛于X，并记为XnX。

2．中心极限定理

1）林德贝格-勒维定理：设相互独立的随机变量X1,X2,,Xn,服从同一分布，且 E(Xk)，D(Xk)20,(k1,2,)，则对于任意x，随机变量Yn

分布函数Fn(x)趋于标准正态分布函数，即有 Xk1nkn的n

nXnt2kx1limFn(x)limPk1xe2dt nnn2

定理的证明从略。

该定理我们通常称之为林德贝格-勒维(Lindeberg-Levy)定理。

推论1设相互独立的随机变量X1,X2,,Xn服从同一分布，已知均值为，方差为0.单分布函数未知，当n充分大时，XXk近似服从正态分布N(n,(n)2).2n

k1推论2：设相互独立的随机变量X1,X2,,Xn服从同一分布，已知均值为，方差

21n))。为0.单分布函数未知，当n充分大时,Xk近似服从正态分布N(,(nk1n

由推论知，无论X1,X2,,Xn是什么样的分布函数，他的平均数X当n充分大时总是2近似地服从正态分布。

例 1某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候?

1第k个分机要用外线(k1,2,,260)，X1,X2,,X260是260

0第k个分机不要用外线

个相互独立的随机变量，且E(Xi)0.04，令 mX1X2X260表示同时使用外线的分机数，根据题意，应确定最小的x使P{mx}95%成立。由林德贝格-勒维定理，有 解令XK

tx260pm260pb12P{mx}Pedt，260p(1p)2260p(1p)

查得(1.65)0.95050.95，故，取b1.65，于是 2

xb260p(1p)260p1.652600.040.962600.0415.61。也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。

例 4.3用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，求一箱味精净重大于20500克的概率。

解设一箱味精净重为X克，箱中第k袋味精的净重为Xk克，k1,2,,200.X1,X2,,X200是200个相互独立的随机变量，且E(Xk)100,D(Xk)100。

设 XX1X2X200，则

E(X)E(X1X2X200)20000,D(X)20000,D(X)2

}01P{X2050} 0因而有P{X2050

5001(3.54)0.0002。22

2）德莫佛—拉普拉斯定理：设mA表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件

A在每次试验中发生的概率。则对于任意区间(a,b]，恒有

t2bmnp1nlimPabe2dt annp(1p)2

这两个定理表明二项分布的极限分布是正态分布。一般来说，当n较大时，二项分布的概1PX20000率计算起来非常复杂，这是我们就可以用正态分布来近似地计算二项分布。

np(1p)np(1p)

nnpnnp(2)(1)。np(1p)np(1p),0.8)，求P{80X100}.例 4.4 设随机变量X服从B(100

100808080}()()解P{80X100n0.80.2n0.80.2

(5)(0)10.50.5 kn1Cnkpk(1p)nkP{n1mnn2}Pn2n1npmnnpn2npnp(1p)

例 4.5 设电路共电网中内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关彼此独立，计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。,0.7)，于是 解 记同时开着的灯数为X，它服从二项分布B(10000

P{6800X7200}(72007000

0.70.30.70.3

2002()12(4.36)10.999991。45.83

定理４（李雅普诺夫中心极限定理）：设1,2,,n是独立随机变量序列，又Ekak，k2nn

k1)(68007000)Dk(k1,2,)，记Bk2，若存在0，使有

2BnEk1n2kak0，n，1则对任意的x，有limp(nBn(k1nkak)x)21et22dt。