试卷：数学归纳法_数学归纳法试卷

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第六章 第六节 数学归纳法

一、选择题

1．如果命题P(n)对 n＝k 成立，则它对 n＝k＋2 也成立，若P(n)对n＝2 也成立，则下列结论正确的是()

A．P(n)对所有正整数 n 都成立

B．P(n)对所有正偶数 n 都成立

C．P(n)对所有正奇数 n 都成立

D．P(n)对所有自然数 n 都成立

解析：由题意 n＝k 时成立，则n＝k＋2时也成立，又n＝2时成立，则 P(n)对所有正偶数都成立．

答案：B

2．用数学归纳法证明“2＞n＋1 对于n≥n0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取()

A．2B．3C．5D．6 n

2解析：分别令 n0＝2,3,5, 依次验证即可．

答案：C

32＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＋k＜k＋1，则当n＝k＋1k＋12＋k＋1＝2＋3k＋2k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．

则上述证法()

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析：此同学从n＝k 到n＝k＋1的推理中没有应用归纳假设．

答案：D

4．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋„＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到()

A．1＋2＋22＋„＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－

12B．1＋2＋22＋„＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1 C．1＋2＋2＋„＋2

k－1

＋2

k＋1

＝2

k＋1

－1

D．1＋2＋22＋„＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k

解析：把 n＝k＋1 代入 1＋2＋22＋„＋2n－1＝2n－1, 得1＋2＋22＋„＋2k－1＋2k＝ 2－1＋2.答案：D

n2n＋1

5．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(n－1)＋n＋(n－1)＋„＋2＋1＝

3k

k

由 n＝k 的假设到证明 n＝k＋1 时，等式左边应添加的式子是()

A．(k＋1)2＋2k2C．(k＋1)2

B．(k＋1)2＋k2 1

D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1] 3

解析：本题易被题干误导而错选A, 分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k＋1)2

＋k.答案：B

6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写()

A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确 B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确 C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确 D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确 解析：首先要注意n为奇数，其次还要使n能取到1.答案：B

二、填空题

7．对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：

22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋„＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．

解析：依题意得 n＝

成10×1＋19mm－1

3＝100, ∴n＝10.易知 m＝21m＋×2, 整理2

2*,得(m－5)(m＋4)＝0, 又 m∈N所以 m＝5, 所以m＋n＝15.答案：1

5n4＋n2

8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋„＋n＝

则 f(k＋1)－f(k)＝________.解析：当 n＝k时，等式左端＝1＋2＋„＋k2, 当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋„＋k＋k＋1＋„＋k＋12，增加了2k＋1项．

答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋„＋(k＋1)2 9．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2)„(1－an)，试通过计算

n＋12

c1，c2，c3的值，推测cn＝________.13

解析：c1＝2(1－a1)＝2×(1－＝，4211

4c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－×(1－)＝

493

1115

c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－×(1－)＝，49164故由归纳推理得cn＝n＋2

答案：n＋

1三、解答题

10．数列{an} 满足 Sn＝2n－an(n∈N*)．

(1)计算 a1，a2，a3，a4, 并由此猜想通项 an 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

2n－13715

解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想 an＝n－1(n∈N*)．

2482(2)证明：当n＝1时，a1＝1, 结论成立． 假设 n＝k(k∈N*)时，结论成立，2k－1

即akk－1，那么 n＝k＋1(k∈N*)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk

＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak ＝2＋ak－ak＋1.2k－12＋k－1k＋1

2＋ak22－1

∴ak＋1＝＝＝

222这表明 n＝k＋1 时，结论成立．

根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N 都成立． 2n－1*

∴ann－1(n∈N)．

*

n＋2

.n＋1

11．用数学归纳法证明不等式：1＋

1＋

1＋„＋

1*

＜2(n∈N)． 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边＜右边，所以不等式成立，②假设n＝k(k∈N)时，不等式成立，即1＋

11„＋

1＜2.*

那么当n＝k＋1时，1＋

11＋„＋

1k＋11

＜2＝＋1

2k＋1＋1

k＋1

k＋k＋1＋1

＋12k＋1

＝k＋1.k＋1

*

这就是说，当n＝k＋1时，不等式成立.由①②可知，原不等式对任意n∈N都成立． Sn＋13n＋112．已知等比数列{an}的首项 a1＝2, 公比q＝3, Sn是它的前n项和.≤Snn证明：由已知，得Sn＝3n－1，Sn＋13n＋13n＋1－13n＋1

等价于n Snnn3－1即3n≥2n＋1.(*)

法一：用数学归纳法证明上面不等式成立． ①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)式成立． ②假设当n＝k(k≥1)时，(*)式成立，即3≥2k＋1，那么当n＝k＋1时，3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，(*)式成立． 综合①②，得3n≥2n＋1成立． 所以

Sn＋13n＋1

≤Snn

k

法二：当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)式成立．

当n≥2时，3＝(1＋2)＝Cn＋Cn×2＋Cn×2＋„＋Cn×2＝1＋2n＋„>1＋2n，所以(*)成立． 所以

Sn＋13n＋1.Snn

n

n

n

n