《数学归纳法》练习题_数学归纳法测试题

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《数学归纳法》练习题

一、选择题：

1.用数学归纳法证明“(n1)(n2)...(nn)2n13...(2n1)”从k到k1左端需增乘的代数

（）式为

A．2k1B．2(2k1)C．2k12k3D． k1k

12.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形的对角线的条数f(n1)为（）

A．f(n)n1B．f(n)nC．f(n)n1D．f(n)n

23.如果命题p(n)对nk成立，那么它对nk2也成立，又若p(n)对n2成立，则下列结论正确的是（）

A．p(n)对所有自然数n成立B．p(n)对所有正偶数n成立

C．p(n)对所有正奇数n成立D．p(n)对所有大于1的自然数n成立

4.已知f(n)111(nN)，则f(k1)（）n1n23n1

11B．f(k) 3k23(k1)1

111111D．f(k)3k23k33k4k13k4k1 －A．f(k)C．f(k)5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋„＋n×3n1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值

为()

1111A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c 244

46.用数学归纳法说明：1+111nn(n1)，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边232

1增加的项数是()

kkk-1kA.2B.2-1个C.2个D.2+1个

4(k1)152(k1)1可变形为7.用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，当nk1时，（）

3Ａ．56·34k125(34k152k1)·34k152·52k Ｃ．34k152k1Ｄ．25(34k152k1)Ｂ．34

18．在数列{an}中，a1Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式()3

A.1111B.C.D.(n－1)(n＋1)2n(2n＋1)(2n－1)(2n＋1)(2n＋1)(2n＋2)

二、填空题：

9．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n个式子为_____________________ 10.用数学归纳法证明不等式1111127n1成立，起始值至少应取为． 2426

411.楼梯共有n级，每步只能跨上1级或2级，走完该n级楼梯共有f(n)种不同的走法，则f(n)、f(n-1)、f(n-2)的关系为____________

三、解答题：

12.用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)n(3n1)(nN)．

213用数学归纳法证明42n1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.14.用数学归纳法证明：1nN)．

15．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，„.(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．

12.证明：（1）当n1时，左边2，右边1(31)2左边，等式成立． 2

k(3k1)． 2（2）假设nk时等式成立，即(k1)(k2)(kk)

则当nk1时，左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)[(k1)(k2)(kk)]3k2k(3k1)3k2

33k27k4(k1)(3k4) 22

(k1)[3(k1)1]，2

nk1时，等式成立． 

由（1）和（2）知对任意nN，等式成立．

13.证明：(1)当n=1时，4+3=91能被13整除

2k+1k+2(2)假设当n=k时，4+3能被13整除，则当n=k+1时，2(k+1)+1k+32k+12k+22k+12k+14+3=4·4+3·3－4·3+4·3

2k+12k+1k+2=4·13+3·(4+3)

2k+12k+1k+2∵4·13能被13整除，4+3能被13整除

∴当n=k+1时也成立.*2n+1n+2由①②知，当n∈N时，4+3能被13整除.14.证明：（1）当n1时，左边1，右边2，12，所以不等式成立．

（2）假设n

k时不等式成立，即12×1+11+2 则当ak

1时，1

 即当nk1时，不等式也成立．

由（1）、（2）可知，对于任意nN时，不等式成立．

15.解：(1)当n＝1时，x－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，12于是(a1－1)－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1

212当n＝2时，x－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，22

121于是(a2－)－a2(a2－a2＝0，22

1解得a2＝.6

(2)由题设(Sn－1)－an(Sn－1)－an＝0，2

S2

n－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①

1112由(1)得S1＝a1，S2＝a1＋a2＋＝226

33n由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，„.4n＋

1下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝＝k＋1时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝

1k＋1，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝Sk＋1＝，故nk＋12－Skk＋2knn＋1对所有正整数n都成立．