第三章 测 度 论_第3章温度检测

第三章 测 度 论由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“第3章温度检测”。

洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

第三章 测 度 论（总授课时数 12学时）

教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集

本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§

1、外测度

教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质.本节难点 外测度的定义.授课时数 4学时

——————————————————————————————

一、引言

(1)Riemann积分回顾（分割定义域）

(R)f(x)dxlimab||T||0f()x，xiii1nixixi1，xi1ixi

积分与分割、介点集的取法无关。

几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。（2）新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）

记Ei{x:yi1f(x)yi}，yi1iyi，则

(L)[a,b]f(x)dxlimimEi

0i1n问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和

上积分（外包）（达布上和的极限）

baf(x)dxlim||T||0Mx

iii1n下积分（内填）达布下和的极限



二、Lebesgue外测度(外包)

nbaf(x)dxlim||T||0mx

iii1n*1．定义：设 ER，称非负广义实数(R{}R)

第1页（共12页）洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

mEinf{|Ii|:EIi,Ii为开区间}

i1i1为E的Lebesgue外测度。下确界：

（1）是数集S的下界，即xS，x

（2）是数集S的最大下界，即0,xS,使得x

mEinf{|Ii|:EIi,Ii为开区间} i1i10,开区间列{Ii},使得EIi且

i1mE|Ii|m*E

*i1即：用一开区间列{Ii}“近似”替换集合E

例1 设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0.证明：由于E为可数集，故不妨令

E[0,1]Q{r1,r2,r3,}

0,作开区间

Ii(ri则EIi且

i12,rii12i1),i1,2,3,|Ii|i1i12i1，从而mE，再由的任意性知mE0 思考：

１.设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0 提示：找一列包含有理点集的开区间

Ii(ri1**2i2,ri12i2)(ri22i2,ri22i2),(ri1,ri2)QQ,i1,2,3,2.平面上的x轴的外测度为0 提示：找一列包含x轴的开区间

Ii(ri1,ri1)(2,i12i1),riZ，i1,2,3,第2页（共12页）洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

3.对Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor集的余集的构成区间）2．Lebesgue外测度的性质

（1）非负性：mE0，当E为空集时，mE0

（2）单调性：若AB，则mAmB 证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。（3）次可数可加性m(An)n1*n1m*An

证明：对任意的0,由外测度的定义知，对每个An都有 一列开区间（即用一开区间Inm列近似替换An）In1,In2,Inm，使得AnInm且

m1mAn|Inm|m*An*m12n从而AnInm，且

n1n1m1n,m1|Inm||Inm|(mAn*n1m1n12n)m*An

n1可见

m(An)|Inm|m*An

*n1n1m1n1由的任意性，即得m(An)n1*n1m*An

注：（1）一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界

（2）外测度的次可数可加性的等号即使A,B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:若d(A,B)0则

m(AB)m(A)m*(B)

当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点.第3页（共12页）洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

例2 对任意区间I，有mE|I|.思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？ 此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广

例3 Cantor集的外测度为0.证明：令第n次等分后留下的闭区间为Ii(n)从而

i1,2,2n

m*(P)m*(Ii(n))|Ii(n)i1i12n2n12|n0

3i132nn故mP0

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集.——————————————————————————————

作业：P75 1, 2

练习题如果将外测度的定义改为“有界集E的外测度是包含E的闭集的测度的下确界.”是否合理？设AB，问在什么条件下有

m*(AB)m*B

*3 对于有界集ER，是否必有mE？ 1mE0，4设E是直线上的一有界集，则对任意小于mE的正数c，恒有子集E1，使mE1c

§2 可测集合教学目的1、深刻理解可测集的定义，学会用Caratheodory条件验证集合的可测性.2、掌握并能运用可测集的性质.本节要点 学会用Caratheodory条件验证集合的可测性.本节难点 用Caratheodory条件验证集合的可测性.授课时数 4学时

——————————————————————————————

Lebesgue外测度(外包)

第4页（共12页）洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

mEinf{|Ii|:EIii且I为开区间} i1i10,开区间列{Ii},使得EIi且mE|Ii|m*E

*i1i1即：用一开区间列“近似”替换集合E 次可数可加性(即使An两两不交)m(An)n1*n1m*An

一、可测集的定义

若TRn,有mTm(TE)m*(TEc)（Caratheodory条件），则称E为Lebesgue可测集，此时E的外测度称为E的测度，记作mE.注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法.例1：零集E必为可测集

证明：TR，有mTm(TE)m*(TEc)m(E)m*(T)m*(T)从而mTm(TE)m*(TEc)即E为可测集。n

二、Lebesgue可测集的性质

（1）集合E可测（即TRn,有mTm(TE)m*(TEc)

AE,BEc,有m(AB)m(A)m*(B)

证明：(充分性）

TRn，令ATE,BTEc即可

(必要性)令TAB

（2）若A,B,Ai 可测，则下述集合也可测

A,AB,AB,AB,Ai,Ai

i1i1c即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；

n若AB，则TR，有

m(T(AB))m(TA)m*(TB)

注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得 若Ai两两不交，则（测度的可数可加性）

m(Ai)mAi

i1i1第5页（共12页）洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

若A,B可测，AB,mA,则有可减性

m(BA)mBmA

证明：由可测集的定义：TR有mTm(TE)m*(TEc)易知A可测

若AB可测已证明，则易知AB(AcBc)c，ABAB也可测。若当Ai为两两不交时，Ai可测已证明，则通过令BnAnAi可把一般情形转化

i1i1n1cc

n为两两不交的情形，通过取余即可证明Ai

i1n下面证明若A,B可测，则AB可测 证明：TR，有 nmTm(T(AB))m*(T(AB)c)

(m(1)m*(2))(m(3)m*(4))

m*((1)(2)m)B4可测）((3)（())

m*((1)(2)(3)(4))（A可测）

m*(T)

从而mTm(T(AB))m(T(AB))下面证明若Ai两两不交，则m(Ai)i1*cmA

ii1证明：TR，有 nmTm(T(Ai)m(T(Ai))m(T(Ai)m(T(Ai)c)

i1i1i1i1n*ncn*m(TAi)m(T(Ai)c)*i1i1n从而

mTm(TAi)m(T(Ai)c)*i1i1第6页（共12页）洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

m(T(Ai))m(T(Ai)c)（*）

i1i1*另外显然有 mTm(T(Ai))m(T(Ai)c)

i1i1*从而Ai可测，并用TAi代入（*）式，即得结论

i1i1例2：设[0,1]中可测集A1,A2,nncc,An满足条件mAin1，则Ai必有正测度。

i1nni1证明：m(Ai)m(((Ai)))m([0,1](Ai)c)

i1i1i1nnm([0,1]Ai)m([0,1])m(Aic)

i1i1nc1m([0,1]Ai)

i1nn1(1mAi)mAi(n1)0

i1i1n单调可测集列的性质

(1)若An是递增的可测集列，则m(limAn)limmAn

nn(2)若An 是递减的可测集列且mA1，则m(limAn)limmAn

nn注：（1）左边的极限是集列极限，而右边的极限是数列极限，(2)中的条件mA1不可少，如Ann,

注：（2）若An是递减集列，limAnAn

nn1若An是递增集列，limAnAn

nn1n1AnA1(A2A1)(AnAn1)

若A，B可测，AB,mA，则m(BA)mBmA

——————————————————————————————

作业：P75 5, 6

练习题设mE0，能否断定E可测？能否断定E的任一子集可测？

第7页（共12页）洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案设{En}是可测集列，且

mEn1n，则m(limEn)0

n3 证明：任意点集E的外测度等于包含它的开集G的测度的下确界，即

mEinf{mG:EG,G为开集}设A,B是Rn的子集，A可测，证明等式

m(AB)m(AB)m(A)m(B)

§3 可测集类

教学目的1、熟悉并掌握用开集、闭集、G型集、F型集刻画可测集的几个定理，弄清可测集类和Borel集类之间的关系.2、了解一些集合可测的充要条件.本节要点 可测集类和Borel集类之间的关系.本节难点 可测集类和Borel集类之间的关系.授课时数 4学时

——————————————————————————————

一、可测集

例1 区间I是可测集，且mI|I|

注：（1）零集、区间、开集、闭集、G型集（可数个开集的交）、F型集（可数个闭集的并）.Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。

（2）开集、闭集既是G型集也是F型集；

有理数集是F型集，但不是G型集；

无理数集是G型集，但不是F型集。

有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；

通过取余G型集与F型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）

二、可测集与开集、闭集的关系

（1）若E可测，则0，存在开集G，使得EG且m(GE)

即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），第8页（共12页）洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。

（2）若E可测，则0，存在闭集F，使得FE且m(EF)

证明：（1）当mE时，由外测度定义知

0,存在开区间列{Ii}，使得EIi且mE|Ii|m*E

*i1i1令GIi,则G为开集，EG，且EmGi1mI|Iii1i1i|mE

从而（这里用到mE）m(GE)mGmE(2)当mE时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集

EEi(mEi)

i1对每个Ei应用上述结果，存在开集Gi，使得

EiGi且m(GiEi)令GGi，则G为开集，EG，且

i12i

m(GE)m(GiEi)m((GiEi))

i1i1i1i1m((GiEi))m((GiEi)i1i1i12i

若(1)已证明，由E可测可知

c0，存在开集G，使得EcG且m(GEc).c取FG，则F为闭集FE且

m(EF)m(EFc)m((Ec)cFc)m(FcEc)m(GEc)

n例2 设ER，若0,开集G，使得EG且m(GE)，则E是可测集.证明：对任意的11，Gn（开集），使得EGn且m(GnE) nn令OGn，则O是G型集且EO

n1m(OE)m(GnE)故m(OE)0 1,n1,2,3,n

第9页（共12页）洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

从而EO(OE)为可测集.例3：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。

E{r1,r2,r3,}

开集：G(ri,r2i1ii12i1)

闭集：空集.例4：设E为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。开集:(0,1)

闭集：F[0,1](ri,r2i1ii1*

*

2i1)

三、可测集与G集和F集的关系

(1).若E可测，则存在G型集O, 使EO且m(OE)0 可测集可由G型集去掉一零集，或F型集添上一零集得到。(2).若E可测，则存在F型集H, 使HE且m(EH)0

c证明：若(1)已证明，由E可测可知 G型集O，使得EO且m(OE)0 c取HO，则H为F型集，HE且

ccm(EH)m(EHc)m((Ec)cHc)m(HcEc)m(OEc)0

(1).若E可测，则存在G型集O, 使EO且m(OE)0

证明：对任意的11，存在开集Gn，使得EGn且m(GnE) nn令OGn，则O为G型集，且EO

n1m(OE)m(GnE)1,2,3,n,n1故m(OE)0

例5：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一 零测度集的G型集或F型集。

第10页（共12页）洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

11nnG型集：Orii1,rii1 n1i122F型集：空集

注：上面的交与并不可交换次序.例6：设E为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E只相差一零测度集的G型集或F型集。*

*G型集：(0,1)

11nnH[0,1]rii1,rii1 F型集：n1i122n类似可证：若ER，则存在G型集O使得EO且mOmE（称O为E的等测包）

证明: 由外测度定义知

11*,{Ini}，使得EIni且mE|Ini|m*E

i1nni1令GnIni,则Gn为开集，EGn且

i1mEmGnmIni|Ini|m*E*i1i11 n令OGn，则O为G型集，且OE,mOmE

n1*——————————————————————————————

作业：P75 8, 9, 11

练习题

1设A,B是Rn的子集，证明不等式

m(AB)m(AB)m(A)m(B)试证有界集E(Rn)可测的充要条件是

0，存在开集GE及闭集FE，使得m(GF).3 证明E(R)可测的充要条件是：存在开集G1E及G2CE，使

第11页（共12页）n洛阳师范学院数学科学学院《实变函数》电子教案

m(G1G2)

§4 不可测集

教学目的 了解不可测集的构造思路和步骤.本节要点 无.本节难点 无.授课时数 2学时

存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73;1970，R.Solovay证明不可测集存在 蕴涵选择公理）

（利用Cantor函数和不可测集构造）

参见：《实变函数》周民强 , p87

第12页（共12页）