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第十一章 Ｅuclid空间上的极限和连续
从本章开始，主要转向研究多元函数，多元函数的分析也是极限理论，连续性，可微性，可导性，可积性等，它们与一元函数的相应性质有紧密联系，又有很大区别，同学们要注意它们的本质上的异同．
通过这一章的学习，学习者要理解平面区域上的若干基本概念，多元函数（主要二元函数）的二次极限和二重极限的区别，及二元函数的连续性。本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。
本章的主要教学内容（教学时数安排：12学时）： §11.1Ｅuclid空间上的基本定理 §11.2多元连续函数 §11.3连续函数的性质 第十二章 多元函数的微分学
本章介绍多元函数（主要是二元函数）的微分，导数及其计算方法和其应用。通过这一章的学习，学习者掌握偏导数和高阶偏导数的概念与计算；理解方向导数﹑梯度﹑切线与法平面的概念；掌握隐函数及多元复合函数的求导法则；无条件极值与条件极值的计算方法。本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及条件极值。
本章的主要教学内容（教学时数安排：20学时）： §12.1偏导数与全微分 §12.2多元复合函数求导法则 §12.3 Taylor公式 §12.4隐函数
§12.5偏导数在几何中的应用 §12.6无条件极值
§12.7条件极值问题与Lagrange乘数法 第十三章 重积分
本章介绍多元函数一个重要内容重积分，这和一元函函数很大的不同，是多元函数的重点内容。
通过这一章的学习，学习者掌握重积分与反常重积分的概念；掌握二重积分、三重积分及反常重积分的算法；理解二重积分与三重积分的变量代换。其中有向面积及微分形式这作为选学内容，由任课教师处理。重点是熟练掌握二重积分、三重积分及反常重积分的计算方法。
本章的主要教学内容（教学时数安排：20学时）： §13.1有界闭区域上的重积分 §13.2重积分的性质与计算 §13.3重积分的变量代换 §13.4反常重积分 §13.5微分形式（选学）
第十四章 曲线积分、曲面积分与场论
本章介绍多元函数另二类积分——曲线积分和曲面积分。
通过这一章的学习，学习者掌握主要内容是：第一、二类曲线积分与曲面积分的概念；掌握利用Green公式、Gau公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法；理解曲线积分与路径无关的条件；理解梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念。其中外微分和场论作为选学内容，由任课教师处理。本章重点：第一、二类曲线积分与曲面积分的计算及利用Green公式、Gau公式和Stokes公式来计算这二类积分的方法。
本章的主要教学内容（教学时数安排：20学时）。§14.1第一类曲线积分与第一类曲面积分 §14.2第二类曲线积分与第二类曲面积分 §14.3 Green公式、Gau公式和Stokes公式 §14.4微分形式的外微分（选学）§14.5场论初步（选学）第十五章 含参变量积分
本章介绍含参变量的常义积分和反常积分的定义及分析性质。
通过这一章的学习，学习者掌握主要内容：熟练掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；熟练掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分析性质；掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。
本章的主要教学内容（教学时数安排：18学时）： §15.1含参变量的常义积分
§15.2含参变量的反常积分 §15.3 Euler积分
第四部分：教学方案简要说明
课时计划是每周6学时，总约108学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，把分析以及科学研究的有关思想方法直接或间接地引入课堂教学过程。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成，目的是培养学生的研究能力和创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。
第五部分：课程作业与考核评价
本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课（2学时）由教师统一布置作业，总量达到50余次，每次作业均会批改（座号单双号）。鼓励教师布置综合性较强的作业一至五次，由学生自主或分组完成。
本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。
考试题目的一般类型：（1）选择题（或是非题）：基本概念或基本计算、分析；（2）计算题：计算偏导数、重积分、二类曲线和曲面积分、参量积分、极值和条件极值；（3）理论分析证明题。
本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括：平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。
制定者：叶善力
执笔 校对者: 苏维钢 审定者：苏维钢 批准者：周哲彦
《数学实验与数学软件》课程教学标准
第一部分：课程性质、课程目标与要求
《数学实验与数学软件》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。本课程的目的是使学生掌握数学实验的基本思想和方法, 即不把数学看成先验的逻辑体系, 而是把它视为一门“实验科学”, 从问题出发, 借助计算机, 通过学生亲自设计和动手, 体验解决问题的过程, 从实验中去学习、探索和发现数学规律。同时，通过这门课的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，掌握数学软件Mathematica的使用。
教学时间应安排在第四学期或第七学期。这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理，这是学习《数学实验与数学软件》课程必要的基础知识。同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用数学软件解决数学建模竞赛的考题，使学生进一步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。
第二部分：教材与学习参考书
本课程拟采用由华东师范大学万福永、戴浩晖等人编写的，科学出版社2003年出版的《数学实验教程》一书作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：
1、《数学实验》（李尚志、陈发来等，高等教育出版社）；
2、《高等数学实验课讲义》（郭锡伯等，中国标准出版社）
第三部分：教学内容纲要和课时安排 第一章 Mathematica用法简介
主要介绍Mathematica的基本命令和强大的计算功能.通过这一章的学习，学习者要能运用Mathematica软件命令进行各种计算，如求方程或方程组的解、矩阵的运算、求极限、导数、积分等，初步掌握运用Mathematica软件命令画图，编写较简单的程序解决小问题。
本章的主要教学内容（教学时数安排：6学时）：
第二章 数学实验
数学实验包括两部分主要内容: 第一部分是基础部分, 围绕高等数学的基本内容, 让学生充分利用计算机及软件的数值功能和图形功能展示基本概念与结论, 去体验如何发现、总结和应用数学规律。另一部分是高级部分,以高等数学为中心向边缘学科发散, 可涉及到微分几何, 数值方法, 数理统计,图论与组合, 微分方程, 运筹与优化等, 也可涉及到现代新兴的学科和方向, 如分形、混沌等。
实验
一、特殊函数与图形：
学习使用 Mathematica 的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的一些基本结论。例如：函数图象，导数的符号与函数的递增、递减、极值的关系，泰勒逼近，傅立叶逼近，无穷乘积逼近，e 的产生，调和级数与自然对数的关系等。
实验
二、定积分的近似计算 :
主要研究定积分的三种近似计算算法：矩阵法、梯形法、抛物线法。实验
三、求代数方程的近似根（解）：
介绍一些求方程实根的近似根的有效方法，了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程。
实验
四、古典密码与破译：
在计算机上自己尝试加密和破译的一些基本方法和原理。实验
五、数字填图问题：
通过生活中几个常见的数字填图问题的探究，谈谈这类问题的逻辑推理解法和计算机解法。
实验
六、求微分方程（组）的解：
主要研究微分方程（组）的数值解法(近似解)，重点介绍Euler折线法.实验
七、概率与频率：
利用计算机产生随机数的功能，模拟各种随机现象，通过观察这些现象总结和验证概率统计知识。
实验
八、迭代与分形：
利用计算机迭代过程画分形图形，在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。：
实验
九、迭代与混沌：
从一个简单的二次函数的迭代出发，认识混沌现象及其所蕴涵的规律性。实验
十、吴消元法与初等几何定理的机器证明：
尝试将几何定理代数化并利用计算机证明的过程。的技巧，增强解题的灵活性。
本章的主要教学内容（教学时数安排：42学时）：
第四部分：教学方案简要说明
课时计划是每周5学时，其中学生上机2学时，总约80学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授与学生上机并重，把数学建模以及科学研究的有关思想方法直接引入课堂教学过程。
从问题出发组织教学内容，有意识让学生通过实验学会一些基本的方法, 但是并不以这些方法为线索组织课程内容，而是设计了一些能够引起学生兴趣的问题, 这些问题的引入不需很深的数学知识，便于入门，但这些问题具有深刻的内涵，包括科学发展历史上经典的数学问题，以及具有应用价值的问题。每个实验围绕解决一个或几个问题来展开, 教学生使用若干种方法来解决所给的问题, 在解决问题中学习和熟悉这些方法, 自己观察结果, 得出结论。并激发进一步学习的兴趣。
教师的教学手段应采用多媒体教学。课堂基本内容用计算机幻灯片(powerpoint)显示, 而且在课堂上演示用计算机软件作出来的部分实验的结果(包括图形和计算结果等), 使课堂更生动, 教师的讲解更贴近学生的实验过程。对实验报告评讲时应尽量鼓励学生介绍和演示自己的实验结果。
第五部分：课程作业与考核评价
实验课评定成绩的主要依据是平时的实验报告和上机考试。实验报告主要是期中和期末的两份，若实验报告做的不理想则参加期末上机考试。实验报告评分的最基本标准是要自己动手, 要写上自己观察到的现象并进行分析。实话实说, 不能造假, 哪怕观察到的现象与预计不一致, 或者与理论推导的结果不一致, 也不能在实验报告中说假话, 而应当分析其原因, 找出改进的办法, 重做实验, 重新得出结论。对实验报告的更高的标准是创造性。对于有创造性的报告, 要给以高分作为鼓励。
制定：李永青执笔
校对: 李永青 审定：李永青 批准者：周哲彦
《离散数学》课程教学标准
第一部分：课程性质、课程目标与要求
《离散数学》是我院信息与计算科学本科专业的必修课程，也是数学与应用数学本科专业的选修课程。
《离散数学》是现代数学的一个重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，内容十分丰富，最主要的是：数理逻辑、集合论、代数系统和图论。《离散数学》在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用，是计算机科学中基础理论的核心课程，其基本思想、概念和方法广泛地渗透到计算机科学与技术发展的各个领域，为计算机科学提供了有力的理论基础和工具，而且其基本理论和研究成果更是全面而系统地影响和推动着其发展。
通过学习离散数学，要求掌握数理逻辑、集合论、代数系统、图论等四个领域的基本概念、基本术语、基本定理及初步的运算证明技巧，并应用其解决一些实际问题。为后继课程，如数据结构、编译原理、操作系统、数据库原理、人工智能等，提供了必要的数学基础。另一方面，通过本课程的学习，有助于培养和提高抽象思维、逻辑推理和创新能力。在数学与数学应用本科的学生开设选修课，一方面有效地理解和熟悉离散数学与计算机科学的关系，满足信息时代对数学素养的要求，另一方面，即将实施的高中数学新课程中，增设了选修专题“开关电路与布尔代数”、“统筹法与图论初步”、“常用逻辑用语”等，要求未来的高中数学教师必须掌握离散数学的相关知识（对于数学与数学应用本科生的选修课，由于课时的限定及考虑其它相关选修课知识点的重叠，其中“集合论”与“代数系统”不作要求）。
先修课程有：高等数学、线性代数。
教学时间应安排在第三学期较佳（2004年开始改为第二学期，学生较吃力）。这时，学生已学完《高等数学》、《线性代数》，这是学习《离散数学》课程必要的先修课程。
第二部分：教材与学习参考书
本课程的教材采用北京大学耿素云、屈婉玲、张立昂编写的、清华大学出版社2004年出版的《离散数学》（第三版）。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要
的参考书：
1、屈婉玲、耿素云、张立昂, 离散数学题解（与教材配套），清华大学出版社，1999.2、徐洁磐，离散数学导论（第二版），高等教育出版社.，19913、左孝凌 等，离散数学，上海科学技术文献出版社，19874、朱一清，离散数学，电子工业出版社，20015、李盘林 等，离散数学，高等教育出版社.1999 第三部分：教学内容纲要和课时安排
本课程由四个领域组成：集合论、代数系统、图论、数理逻辑。各领域的要求如下：
一、数理逻辑
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其它分支、计算机科学、人工智能、语言学等学科均有密切的联系。命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中最成熟的部分，在计算机科学中应用最为广泛，其中命题逻辑是数理逻辑的最基础部分，谓词逻辑是在它的基础上发展起来的。本课程在第一，二两章中介绍数理逻辑的内容。
第一章
命题逻辑
本章内容在数理逻辑中具有基础性的重要地位，本章介绍了命题、联结词、命题公式的赋值，命题的类型以及推理等相关概念。命题逻辑是研究关于命题如何通过一些逻辑联结词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。其内容不仅有利于培养抽象思维，符号演算，逻辑推理和慎密概括的能力，而且对第二章数理逻辑的的学习起铺垫作用。概念多是本章特点，也是《离散数学》这门课程的特点。不要死记硬背，要在理解的基础上加以应用。
本章的主要教学内容（教学时数安排：14学时）：
1、需要掌握的基本概念
命题与真值；简单命题和复合命题；五个联结词,,,,，真值表。命题公式的赋值，成真赋值，成假赋值；重言式，矛盾式，可满足式。等值式，推理定律；
2、在理解的基础上，加以应用
◆命题公式的类型（重言式，矛盾式，可满足式）的判断（真值表法、等值演算法）。
◆求给定命题公式的主析取范式和主合取范式（真值表法、等值演算法）。
◆用构造证明法（8条推理定律）构造推理的证明。第二章
一阶逻辑
一阶逻辑也叫谓词逻辑，它是在命题逻辑的基础上发展起来的，它突破命题逻辑的局限性，把命题的内部结构分析成具有个体词、谓词和量词的逻辑形式，研究它们的形式结构和逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则。由命题涵项、逻辑联结词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。
本章的主要教学内容（教学时数安排：4学时）：
1、需要掌握的基本概念
个体，个体域，个体词；谓词；量词，全称量词和存在量词。
2、在理解的基础上，加以应用
◆
在一阶逻辑中将命题符号化(注意一元谓词、二元谓词、量词的使用)◆ 判断某些给定谓词公式的真假。
二、集合论
集合论是研究集合一般性质的数学分支，它的创始人是康托尔(G,Cantor，1845－1918)。在现代数学中，每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关系数据库，操作系统等都有重要应用。本课程在第三，四章中介绍集合论的内容。
第三章 集合的基本概念和运算
本章是集合论的最基本部分，通过本章的学习要求达到如下基本要求：正确地表示一个集合，会画文氏图；判断两个集合之间的基本关系；熟悉地进行集合的基本运算；正确地计算幂集。
本章的主要教学内容（教学时数安排：4学时）：
1、需要掌握的基本概念
元素和集合的属于关系；子集,真子集；空集,全集；幂集。
交集，并集，差集，补集，对称差集；文氏图；基本运算律。
2、在理解的基础上，加以应用
求给定集合的幂集，以及求两集合的交集，并集，差集，补集，对称差集。第四章
二元关系和函数
通过本章的学习要求达到如下基本要求：正确地使用集合表达式、关系矩阵和关系图表示给定的二元关系；理解并且能够判断关系的五种性质；判断一个关系是否等价关系或偏序关系；验证一个关系是等价关系或偏序关系；正确地理解等价关系和集合的划分之间的内在联系；正确画出偏序关系的哈斯图；理解函数的概念并且能够正确计算；判断是否单射、满射或双射。
本章的主要教学内容（教学时数安排：14学时）：
1、需要掌握的基本概念
有序对，笛卡儿积；集合A到B的关系，集合A上的关系；空关系，全域关系，恒等关系；关系矩阵，关系图；逆关系，合成关系；关系的幂运算；关系的自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性；等价关系，等价类；偏序关系，偏序集，哈斯图；函数；单射，满射，双射。
2、在理解的基础上，加以应用
◆
关系的五种性质自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性的判断和验证。
◆
等价关系的判断和证明。
◆
偏序关系的判断、画出给定偏序关系的哈斯图
三、代数系统
这部分内容属于近世代数的范畴，近世代数是研究具有运算的集合，它第一次揭示了数学系统的多变性与丰富性。代数结构理论可用于计算机算法的复杂性分析，研究抽象数据结构的性质及操作，同时也是程序设计语言的理论基础。我们将介绍代数系统的最基本概念和最基本理论，以及几类常用的代数系统，它们是：半群，幺半群，群，环，域，格和布尔代数。本课程在第五，六章中介绍代数系统的内容。
第五章
代数系统的一般性质
在集合论的基础上，引入代数系统——集合和它上面的运算。本章是代数系统的最基本部分，本章介绍了运算、运算律及运算表，特殊元素，子代数和积代
数的相关概念，其内容不仅有利于加强对运算、算律的理解，培养抽象思维，符号演算和慎密概括的能力，而且对第六章的几个典型的代数系统的学习起铺垫作用。
本章的主要教学内容（教学时数安排：6学时）：
1、需要掌握的基本概念
一元运算，二元运算；二元运算的结合律，交换律，分配律，幂等律，吸收律，消去律；二元运算的幺元，零元，逆元；运算表。代数系统；子代数；
2、在理解的基础上，加以应用
◆
判断给定的二元运算是否满足结合律，交换律，分配律。
◆ 求给定的二元运算的幺元，零元，逆元。
第六章
几个典型的代数系统
本章是在第五章的基础上进一步深入研究，介绍了半群，群，环，域与布尔代数的相关概念。本章的主要教学内容（教学时数安排：8学时）：
1、需要掌握的基本概念
半群，可换半群，独异点；群，阿贝尔群，循环群；有限群，无限群；群的阶；子群；格，有界格，有补格，分配格；布尔代数。
2、在理解的基础上，加以应用
◆
判断或证明一个代数系统为半群，独异点，群。
◆
判断群(半群，独异点)的一个子集是否构成子群(子半群，子独异点)。◆
给定图形判断是否格，有补格。判断是否布尔代数。
四、图论
图论是一个古老的数学分支，它起源于游戏难题的研究。图论的内容十分丰富，应用得相当广泛，许多学科，诸如运筹学、信息论、控制论、网络理论、博弈论、化学、生物学、物理学、社会科学、语言学、计算机科学等，都以图作为工具来解决实际问题和理论问题。随着计算机科学的发展，图论在以上各学科中的作用越来越大，同时图论本身也得到了充分的发展。本课程在第七，八，九各章中介绍与计算机科学关系密切的图论的内容。
第七章
图的基本概念
本章概念较多，它们都是图论各分支需要用到的基本概念，其内容在图论中具有基础性的重要地位。在学习时要注意理解掌握基本概念，如：图论基本定理，40 图的同构，通路和回路及图的连通性等等。
本章的主要教学内容（教学时数安排：6学时）：
1、需要掌握的基本概念
有向图，无向图；顶点的度数，度数序列；零图，平凡图；简单图，多重图；完全图；子图，补图；图的同构。通路，回路；可达，连通；距离；有向图的邻接矩阵；有向图连通的分类。
2、在理解的基础上，加以应用 ◆
灵活运用握手定理及其推论。
◆
画出满足某些条件的非同构的子图，补图等。
◆
由有向图的邻接矩阵画出图形、求顶点度数、长度为l的通路数和回路数等。
◆
判断有向图连通的类型。第八章
一些特殊的图
本章介绍了4种特殊的图——二部图、欧拉图、哈密尔顿图和平面图。要注意它们各自的特点，要求能够正确地判断。
本章的主要教学内容（教学时数安排：6学时）：
1、需要掌握的基本概念
二部图，完全二部图。欧拉通路，欧拉回路，欧拉图。哈密尔顿通路，哈密尔顿回路，哈密尔顿图。平面图。
2、在理解的基础上，加以应用
◆
判定一个图是否二部图或完全二部图。◆
判定无向图是否具有欧拉通路或回路。◆
判断无向图是否具有哈密尔顿通路或回路。◆
判断无向图是否为平面图。第九章
树
本章介绍的树是图论中的一个重要概念，它在许多学科，特别是在计算机科学中得到了广泛应用。本章介绍的树的性质定理与握手定理结合在一起使用，在解无向树的计算题时起很大作用。
本章的主要教学内容（教学时数安排：4学时）：
1、需要掌握的基本概念
无向树；树叶，分支点；平凡树；生成树，最小生成树。
有向树；根树；树根，内点，树叶，分支点；顶点的层数，树高；有序树，正则树，完全树；最优二元树。
2、在理解的基础上，加以应用
◆
根据握手定理及树的某些性质，求顶点数或某些顶点的度数。◆
求生成树，最小生成树。
◆
利用Huffman算法求最优二元树T及W(T)。
第四部分：教学方案简要说明
课时计划是每周4学时，总约66学时（选修课36学时）。也可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用以课堂讲授为主，并与研究性教与学相结合，把科学研究的有关思想方法直接或间接地引入课堂教学过程，让学生了解问题产生的背景，体会其中所蕴涵的数学思想和方法。提高数学应用意识和创新意识。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成，目的是 培养学生的研究能力和创新能力。本课程采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。
第五部分：课程作业与考核评价
本课程需要学生自主完成一定量的习题才能较好地达到课程教学目的，教师可以通过学生作业的来了解教与学情况，一般每次课（2学时）由教师统一布置作业，作业有不同的类型，如：判断题、选择题、解答题或证明题。并可以根据不同的教学阶段，在一些知识交汇点，适当出一些内容综合并且解法独特有一定应用价值的题型。作业以批改为主，也可适当结合讨论、讲评。
本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。
考试题目的一般类型：（1）单项选择题：基本概念或基本计算、分析；（2）计算题；（3）证明题；（4）应用题。
本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括：平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。
制定者：叶雪梅
校对者：叶雪梅
审定者：张鹏程
批准者：周哲彦
《复变函数论》课程教学标准
第一部分：课程性质、课程目标与要求
《复变函数论》课程是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是数学与应用数学专业的专业主干课程。
复变函数（主要是单复变函数）是十九世纪数学最独特，最富有成果的创造，它差不多统治了整个十九世纪的数学。在这个领域，数学家们进行了深刻，富有成效的研究，使复变函数逐渐发展成为一门相对成熟的学科，内容丰富而完美。现在复变函数已经深入到代数学、微分方程、概率统计、拓扑学和解析数论等数学分支。并且广泛应用于理论物理、电学、流体力学、空气动力学、弹性力学和自动控制等领域。
开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。
教学时间应安排在第四学期。作为数学分析课程的一门后继课程，在教学过程中应注意复变函数论与数学分析在概念方法上的相似与联系、区别与发展，强调知识的系统性。
第二部分：教材与学习参考书
本课程拟采用由四川大学钟玉泉编写的、高等教育出版社2004年出版的《复变函数论》第三版一书，作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：
1、钟玉泉，复变函数学习指导书，高等教育出版社，19982、孙清华，赵德修，新编复变函数题解，华中科技大学出版社，20013、余家荣，复变函数，高等教育出版社（第二版），19924、郑建华，复分析，清华大学出版社，20005、方企勤，复变函数教程，北京大学出版社，1996 第三部分：教学内容纲要和课时安排
第一章 复数与复变函数
本章介绍的是复变函数的一些最基本的概念，是中学学习的复数相关概念的43 衔接和发展。首先引入复数域与复平面的概念，其次引入复平面上的点集、区域、Jordan 曲线以及复变函数的极限与连续等概念；最后还要引入复球面与无穷远点的概念。
通过这一章的学习，学习者要掌握复数的三种表示；区别辐角与主辐角；熟练掌握复数的四则运算，乘方、开方运算；对复平面上各种点集定义能够形象理解切实掌握；充分理解复球面和无穷远点与扩充复平面的对应。
本章的主要教学内容（教学时数安排：8学时）： §1.1复数 §1.2复平面上的点集 §1.3复变函数 §1.4复球面与无穷远点 第二章 解析函数
本章研究复变函数的微分法。解析函数是一类具有某种特性的可微函数，是复变函数研究的主要对象。首先引入判断函数可微和解析的主要条件——柯西－黎曼方程；其次，将实数域上熟知的初等函数推广到复数域上来，并研究其性质。
通过本章的学习，学习者要充分理解解析的定义；切实掌握柯西－黎曼条件及相关定理；充分掌握解析函数的等价刻画定理；了解若干初等解析函数，并能区分数学分析中相应初等函数间的异同；切实掌握采用限制辐角或割破平面的方法，来分出根式函数和对数函数的单值解析分支。
本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）：
§2.1解析函数的概念与柯西-黎蔓方程 §2.2初等解析函数 §2.3初等多值函数 第三章 复变函数的积分
复变函数的积分（简称复积分）是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质都要利用复变函数的积分来证明，例如，要证明“解析函数的导函数连续”及“解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分
本章的重点是柯西积分定理，柯西积分公式及其推论，它们是复变函数论的基本定理和基本公式，以后各章都直接地或间接地与它们有关联。
通过本章的学习，学习者应充分掌握作为整个复变函数论基础的柯西积分定理（包括等价形式和两种推广形式）；充分掌握柯西积分公式和柯西高阶导数公式，并能灵活应用；切实掌握解析函数的无穷可微性；充分理解解析函数与调和
函数的关系，切实掌握从已知解析函数的实部（或虚部）求出它的虚部（或实部）的方法
本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）： §3.1复积分的概念及其简单性质 §3.2 柯西积分定理
§3.3柯西积分公式及其推论 §3.4解析函数与调和函数的关系 第四章 解析函数的幂级数表示法
级数也是研究解析函数的一个重要工具，把解析函数表为级数不仅有理论上的意义，而且也有实用的意义，例如，利用级数可以计算函数的近似值；在许多带有应用性质的问题中（如解微分方程等）也常常用到级数。本章将讨论把解析函数表示为幂级数的问题，在内容与结构上与数学分析中相应部分基本平行，在学习过程中应注意对比，温故而知新。
通过本章的学习，学习者应充分掌握复数项、复函数项级数的各种收敛性及判别准则；充分掌握幂级数敛散性，熟练掌握幂级数收敛半径的求法；掌握幂级数和函数的解析性；掌握泰勒定理，理解幂级数的和函数在收敛圆周上的情况；掌握一些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数；掌握解析函数零点的概念及具有零点的解析函数的表达式；掌握解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理；熟练掌握最大模原理及其推论。
本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）。§4.1复级数的基本性质 §4.2幂级数
§4.3解析函数的泰勒展式 §4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
用泰勒级数来表示圆形区域内的解析函数是很方便的，但是对于有些特殊函数，如贝塞尔（Beel）函数，以圆心为奇点，就不能在奇点领域内表成泰勒级数。为此，本章将建立挖去奇点的圆环或去心圆内解析函数的级数表示，这就是推广了的幂级数——洛朗级数。孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型，洛朗级数既可以是函数在孤立奇点去心领域内的级数展式，反过来，以它为工具就便于研究解析函数在孤立奇点去心领域内的性质。泰勒级数与洛朗级数都是研究解析函数的有力工具。
通过本章的学习，学习者应理解双边幂级数的敛散性及其和函数的解析性，掌握洛朗定理，理解洛朗级数与泰勒级数的关系，会用间接法把解析函数在孤立
奇点邻域内展成洛朗级数；掌握孤立奇点的三种类型及其判别法，掌握施瓦兹引理，了解关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理；理解解析函数在无穷远点邻域内的性态，掌握无穷远点作为孤立奇点的分类及相应的判别法；掌握整函数的概念及其分类，了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系。
本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）：
§5.1解析函数的洛朗展式 §5.2解析函数的孤立奇点 §5.3解析函数在无穷远点的性质 §5.4整函数与亚纯函数的概念 第六章 留数理论及其应用
这一章是第三章柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数及罗朗级数都是研究解析函数的有力工具。第三章的柯西积分公式描述了解析函数在围线内部点处的值可以用它在围线上是值所确定的积分来表示，反过来，通过计算解析函数的值来代替围线上积分的计算就是留数定理的思想，因此留数定理可以看作是柯西积分公式在积分计算的应用上的延伸。此外应用留数理论，就有条件去解决“大范围”的积分计算问题，可以考察区域内函数的零点分布状况。
通过本章的学习，学习者应掌握留数在有限点及无穷远点的定义与留数定理，熟练掌握留数的求法，掌握无穷远点的留数的定义及其求法；熟练掌握应用留数定理进行三种类型实积分的计算方法； 掌握关于解析函数零点与极点个数的定理，掌握幅角原理、儒歇定理及其应用。
本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）： §6.1留数 §6.2用留数计算实积分 §6.3辐角原理及其应用 第七章 共形映射
前几章主要是用分析的方法，也就是用微分、积分和级数等来讨论解析函数的性质和应用。内容主要涉及所谓柯西理论；这一章主要是用几何方法来揭示解析函数的特征和应用。一个复变函数(z)从几何观点看来，可以解释为从z平面到平面之间的一个变换，本章将讨论解析函数所构成的变换（简称解析变换）的某些重要特性，它在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的主要方法，尤其是线性变换具有的特性使它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。
通过本章的学习，学习者应理解并掌握解析变换的保域性、保角性；理解单
叶解析变换的保形性；掌握线性变换的保形性、保交比性、保圆（周）性、保对称点性；熟练掌握线性变换，掌握并牢记三个典型的线性变换，这会给解题带来很大方便。
本章的主要教学内容（教学时数安排：6学时）： §7.1解析变换的特性 §7.2分式线性变换
第四部分：教学方案简要说明
课时计划是每周4学时，总约64学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解、分析、应用及系统性。
第五部分：课程作业与考核评价
本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课（2学时）由教师统一布置作业，总量达到30余次，每次作业均会批改（座号单双号）。鼓励教师布置综合性较强的作业一至二次，由学生自主或分组完成。
本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。
考试题目的一般类型：（1）判断题：基本结论和基本知识点；（2）填充题：基本概念或基本计算、分析；（2）计算题：初等多值函数、积分、调和函数、洛朗级数、线性变换等；（3）理论分析证明题。
本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括：平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。
制定者：陈剑岚
执笔 校对者: 陈剑岚 审定者：苏维钢 批准者：周哲彦
《常微分方程》课程教学标准
第一部分：课程性质、课程目标与要求
《常微分方程》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。本课程的目的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析几何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。
教学时间应安排在第四学期或第三学期。这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理中的力学部分，这是学习《常微分方程》课程必要的基础知识。同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决微分方程问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。
第二部分：教材与学习参考书
本课程拟采用由中山大学王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松等人编写的、高等教育出版社1993年出版的《常微分方程》第二版一书，作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：
1、常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，19632、常微分方程讲义(第二版)，叶彦谦，人民教育出版社，19823、常微分方程讲义，周钦德、李勇，吉林大学出版社，1995 第三部分：教学内容纲要和课时安排
第一章 绪论
主要介绍如何根据科学定律和原理，并利用微积分的思想，解决实际问题所导出的若干常微分方程实例，如物体冷却过程、R-L-C电路、单摆等问题微分方程模型的建立。同时介绍常微分方程的若干最基本的概念。
通过这一章的学习，学习者要理解常微分方程的若干基本概念，特别要对“积
分曲线”、“等斜线”、“方向场”等与几何意义有关的概念的理解，为进一步学习后续内容打好基础；初步掌握建立常微分方程模型的一般方法。
本章的主要教学内容（教学时数安排：4学时）：
§1.1微分方程：某些物理过程的数学模型
§1.2基本概念 第二章 一阶微分方程的初等解法
本章介绍利用积分的方法求解一阶微分方程，通常称为初等积分法。微分方程研究的早期是以求解为主要目的,形成了以积分为主要手段的各种技巧和方法，促进了微分方程理论及其应用的发展，因此对这些经典的求解方法进行总结归纳仍然十分必要。本章以求解方法为主线对一阶方程进行分类，主要讲述六类典型方程（变量可分离方程、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性方程、伯努利方程、恰当方程）的解法，以及可化为典型方程求解的方程（包括一阶隐方程和高阶方程）；同时给出不能用初等积分法求解的例子（黎卡提方程）。
通过本章的学习，学习者要理解和掌握求解一阶微分方程的基本方法，能够判断给定的方程的类型并用相应的方法求解；较好地掌握变量替换的技巧，增强解题的灵活性。
本章的主要教学内容（教学时数安排：12学时）：
§2.1变量分离方程与变量变换
§2.2线性方程与常数变易法 §2.3恰当方程与积分因子
§2.4一阶隐方程与参数表示 第三章 一阶微分方程解的存在定理
能够用初等方法求解的微分方程十分有限，因此，通过对微分方程（或定解问题）本身的分析（而并非通过求解）深入研究它的各种属性,在微分方程的理论和应用方面都具有重要的意义,由此形成的定性分析的思想奠定了近代微分方程理论发展的基础。本章介绍常微分方程理论的一些最基本（然而也是最重要的，贯穿本课程的后续内容）的结果：主要讲述关于初值问题解的存在性和唯一性的几个基本定理，解的延展定理，解对初值与参数的连续性和可微性。
通过本章的学习，初步体会微分方程理论研究的分析方法；掌握初值问题解的存在唯一性定理的结果及证明的方法（迭代算法的思想）,理解解的延拓定理和解对初值和参数的连续依赖性和可微性定理；初步学会利用这些结论和方法，分析和研究某些具体问题。
本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）： §3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
§3.2解的延拓 §3.3解对初值的连续性和可微性定理
§3.4奇解
