届高三二轮专题突破定点、定值与存在性问题_高三二轮化学专题突破

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定点、定值与存在性问题

(推荐时间：60分钟)

→→1． 过抛物线x2＝4y上不同两点A，B分别作抛物线的切线相交于点P(x0，y0)，PA·PB＝0.(1)求y0；

(2)求证：直线AB恒过定点；

(3)设(2)中直线AB恒过的定点为F，若→FA·FB→＋λFP→2＝0恒成立，求λ的值．

2(1)解 设Axx

1，4，Bxx

2，4(x1≠x2)．

由x2＝4y得，y′＝xxx2kPA＝2kPB＝2，因为→PA·PB→＝0，所以→PA⊥PB→，所以kx

PA·kPB＝1x222＝－1，即x1x2＝－4.直线PA的方程为yx2x4＝2(x－x1)，xxx2

即y＝24，同理直线PB的方程为y＝xxx22

4由①②消去x得yx

0x4＝－1(x1，x2∈R)．

(2)证明 设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程x2＝4y，得

x2－4kx－4b＝0，由根与系数的关系得x1x2＝－4b，由(1)知x1x2＝－4，所以b＝1，所以直线AB的方程为y＝kx＋1，不论k取何值，该直线恒过点(0,1)．

(3)解 由(1)得：→FA＝x2

x14－1，FB→＝x2

x2，41，Px1＋x221，FP→＝x1＋x222，x1x2＝－4.→FA·FB→＝x1x2＋x2

4－1x2

x2＋x241＝－2－4

① ②

22x21＋x2→2x1＋x2FP＝4＝＋2.44

→→→2所以FA·FB＋FP＝0.故λ＝1.x1y1y2x2x2y2，2． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C＋＝1(a>b>0)上两点．已知m＝n＝babaab若m·n＝0且椭圆的离心率e＝

(1)求椭圆的方程；

(2)试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

a－bc3解(1)∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝＝.aa2

∴a＝2，c3.y22椭圆的方程为＋x＝1.4

(2)①当直线AB斜率不存在时，即x1＝x2，y1＝－y2，由m·n＝0得y222x1－0⇒y21＝4x1.4

4x22x1＋＝1，432，O为坐标原点． 2又A(x1，y1)在椭圆上，所以

∴|x1|＝2|y1|＝2，211S|x1||y1－y2|＝x1|·2|y1|＝1.22

②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b(其中b≠0)，y22代入＋x＝1，得： 4

(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.有Δ＝(2kb)2－4(k2＋4)(b2－4)＝16(k2－b2＋4)

－2kbb2－4x1＋x2＝，x1x2＝ k＋4k＋4

yy由已知m·n＝0得x1x2＋0 4

kx＋bkx＋b⇔x1x2＋＝0，4

代入整理得2b2－k2＝4，代入Δ中可得b2>0满足题意，1|b|1∴S|AB|＝|b|x1＋x2－4x1x2 21＋k2

|b|4k－4b＋164b＝1.2|b|k＋4

所以△ABC的面积为定值1.x2y2

3． 如图，椭圆E＋1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离 ab

1心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为

28.(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2.1c1又因为e＝c＝1，2a2

所以b＝a－c3.x2y2

故椭圆E的方程是1.43y＝kx＋m，22(2)由xy得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

431因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.①

－4km4k3此时x0，y0＝kx0＋m＝ mm4k＋3

4k3－.所以Pmm

x＝4，由得Q(4,4k＋m)． y＝kx＋m，

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．

→→设M（x1,0)，则MP·MQ＝0对满足①式的m，k恒成立．

4k3→→－－x1，，MQ＝(4－x1,4k＋m)，因为MP＝mm

－16k4kx12k→→由MP·MQ＝0，得＋4x1＋x2＋＋3＝0，1mmm

k整理，得(4x1－4)＋x2－4x1＋3＝0.② m1

由于②式对满足①式的m，k恒成立，4x1－4＝0，所以2解得x1＝1.x1－4x1＋3＝0，

故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.x2

4． 如图，抛物线C1：y＝4x的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆C2a2

y2

＋1(a>b>0)的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C1、C2在第一 b26象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为

3(1)求椭圆C2的标准方程；

(2)过A点作直线l交C1于C、D两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点． ①求证：O点在以EF为直径的圆的内部；

②记△OEF，△OCD的面积分别为S1，S2，问是否存在直线l，使得S2＝3S1？请说明理由．

解(1)因为y2＝4x，所以焦准距p＝2，由抛物线C1与椭圆C2的长半轴相等知a＝2.16因为S△OAB＝×|OA|×yB＝，23

6226所以yB＝，代入抛物线方程求得B，333

又B点在椭圆上，代入椭圆方程解得b2＝3.x2y2

故椭圆C2的标准方程是：1.43

(2)①因为直线l不垂直于y轴，故设直线l的方程为x＝my＋2，x＝my＋2，由2得：y2－4my－8＝0.y＝4x

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，故y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，y2y2故x1x2＝4.44

→→故OC·OD＝x1x2＋y1y2＝

4－8＝－490°，又∠EOF＝∠COD，故∠EOF>90°，所以O点在以EF为直径的圆的内部．

1OC||OD|sin∠CODS2|OC||OD|②S21|OE||OF||OE||OF|sin∠EOF2

＝|y||y|×|yE||yF|

y4yy直线OC的斜率为＝，故直线OC的方程为：x＝ x1y14

由xy4＋3＝122yyx＝4 64×364×3得y2，同理y2E＝F＝3y1＋643y2＋64所以2y2EyF＝642×32

3y1＋643y2＋64

642×3264×32

＝ ＝9y1y2＋64×3y121＋48m1＋y2＋64121＋48m1y2S2＝yS1yEyF3121＋48m2112S11因为m∈R，故≥>3.33S13

故不存在直线l使得S2＝3S1.222