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一道高考试题引发的思考
周至三中付润娥
摘要高考试题源于教材，高于教材，教材不可轻视，教师要切实搞好高三复习与教材的关系，改善教学方式，在课堂教学过程中，注重数学教科书中定理的发现、探索过程及证明，培养学生的创新思维能力和逻辑思维能力。
关键词定理探索发现证明
2011年6月8日陕西高考数学试题揭开它神秘的面纱，有些教师和考生反映今年数学试题有一定的难度，究其原因，一方面，由于解答题题目的顺序与往年不同有一定的调整，部分考生应变能力差，感觉不适应；另一方面文理科考题第18题“叙述并证明余弦定理”搞得有些考生晕头转向，因基础知识掌握不牢固，本道试题从文理科试卷得分来看相对较低。
“叙述并证明余弦定理”这道试题主要考查考生运用文字语言和数学语言准确表达余弦定理的内容，以及余弦定理的证明，不仅体现了新课程标准对余弦定理的要求，更重要体现了新课程应注重学生过程与方法的培养。教师在课堂教学中应注重余弦定理的推导过程，而教学中许多教师往往把结论的发生过程压缩在很短的时间内完成，把重点放在结论运用上，这是导致学生得分较低的很重要的原因。本道试题以课本上很经典的余弦定理作为考查对象，命题人的意图非常明确，就是告诉广大师生，在高考备考的时候，不要抛开教材，一头扎进题海中，一定要抓住教材这个“牛鼻子”。高考试题是源于教材高于教材，教材不可轻视，教师要切实搞好高三复习与教材的关系。我们要切实转变思想观念，在课堂教学过程中注重数学教科书中定理的发现、探索过程及证明，培养学生的创新思维能力和逻辑思维能力。
一、展示公式、定理的发现过程
数学教科书应当是学生从事数学学习的基本素材，它为学生的数学
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学习提供了基本线索，基本内容和主要的数学活动机会是学生学习活动的“出发点”，而不是“终结目标”，要学会从课本出发除了理解知识，加深记忆外，还要搞清各种概念、公式、定理和原理的来龙去脉，通过数量关系的表面形式深刻理解它的内在联系和本质属性。
华罗庚说过：“学习数学最好到数学家纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”这是因为教材将定理、法则、公式以学术形态呈现在学生的面前，却把原始的、生动活泼的数学思维活动淹没有形式化的海洋里，教师如果“照本宣科”，学生就很难进行“火热的思考”和主动建构，所以数学教材的任务就在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条恢复为当初数学家发明创新时的火热思考，培养学生思维的创造性。
例如，在余弦定理的教学时，在引导学生复习直角三角形中的勾股定理后，可设计引导学生参与定理的发现过程：
如图1，在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，当c，b一定，A变化时，a可看作A的函数A∈（0，π）。
当A＝时（勾股定理）记作a2＝b2＋c2，为了方便起见，考虑a2是关于A的函数，记
作a2＝f(A)，即a2＝f()＝b2＋c
2当A变大时，a2怎样变化？考虑极端的情
形：
当A＝π时，a2＝f(π)＝（b＋c）2＝b2＋
c2＋2bc。
当A＝0时，a2＝f(0)＝（b－c）2＝b2＋c2－2bc。
比较：（三种情况的异、同点）
当A＝0时，a2＝b2＋c2－2bc＝b2＋c2－2bc·
1当A＝时，a2＝b2＋c2＝b2＋c2－2bc·0
当A＝π时，a2＝b2＋c2＋2bc＝b2＋c2－2bc·（-1）
相同点：都含有b2＋c2；
不同点：－2bc的系数不同，猜想：－2bc的系数1，0，－1与A＝0，π之间存在什么对应关系呢？
a2＝b2＋c2－2bc·cosA
感觉上，这个等式（猜想）对任何三角形都成立，但要使它成为理想上的数学规律，应该严格证明。
探索发现余弦定理的过程，使学生相信，定理并非从天上掉下来的，或是数学家头脑中的主观中产物。可培养学生观察，分析猜想的能力。数学中的猜想能力是一种高级的创造性思维形式，正如牛顿所说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，让我们在探索数学知识的过程中去发现吧！
二、展示公式定理的证明过程
余弦定理是解三角形的很重要定理，它反映了三角形中边角之间的数量关系，余弦定理如何准确表述，它都有哪些证明方法呢？
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a2＝b2＋c2－2bc·cosA
b2＝c2＋a2－2ca·cosB
c2＝a2＋b2－2ab·cosC
平面几何法：在初中平面几何中学生已接触过解直角三角形问题，将一般的三角形问题添加辅助线构成直角三角形在直角三角形内通过边角关系作进一步转化工作。
（1）当△ABC为锐角三角形时，如图2，作BC边上的高AD，根据勾股定
理，有AC2＝AD2＋CD2，AB2＝AD2＋BD2。
∵在Rt△ABC中，CD＝AC·cosC
∴c2＝b2－b2cos2C＋(a－bcosC)2＝b2＋a
2－2abcosC
即c2＝a2＋b2－2ab·cosC
（2）当△ABC为钝角三角形，且C为钝角时，如图3，作BC边上的高AD
根据勾股定理，有AC2＝AD2＋CD2，AB2＝AD2＋
BD2。
∵在Rt△ADC中，CD＝AC·cos（π－C）＝－
AC·cosC
∴AB2＝（AC2－CD2）＋BD2
＝AC2－（－AC·cosC）2＋（CB＋CD）2
＝b2－b2cos2C＋(a－bcosC)2
＝b2＋a2－2abcosC
即c2＝a2＋b2－2ab·cosC仍然成立。
（3）直角△ABC中，当C＝时，cosC＝0，则c2＝a2＋b2，恰好满足勾股定理。
类似地可以证明 a2＝b2＋c2－2bc·cosA
b2＝c2＋a2－2ca·cosB
这一证明表示余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，基于勾股定理结合余弦的定义，论证过程简单明了，符合人们的原始认识过程，是一种冰冷美丽的余弦定理背后的火热思考，多少年来我们一直是这样处理的，但运用这一方法证明余弦定理要讨论三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情况，比较麻烦。
坐标法：在余弦定理中涉及边角之间的关系等式中出现的角的三角函数，而讨
论角的三角函数定义需把角的顶点放在坐
标系原点，始边与X轴正半轴重合，建立
平面直角坐标系，运用解析法证明余弦定
理。
如图4，以C为原点，边CB所在直线
为X轴，建立平面直角坐标系，设点B的坐标为（a，0），点A的坐标为（bcosC，bsinC），根据两点间的距离公式：
22|AB|＝ bcosCa)(bsinC)
∴c2＝b2cos2C－2abcosC＋a2＋
b2sin2C
整理得c2＝a2＋b2－2abcosC
同理可以证明a2＝b2＋c2－2bc·cosA
b2＝c2＋a2－2ca·cosB
上述过程借助三角函数定义及平面内两点之间的距离公式使余弦定理得以证明简单明了。
向量法：随着社会的发展，时代的进步，进入21世纪，向量大举进入数学课程，余弦定理的证明发生新的变化，平面向量的数量积将向量与长度与三角函数紧密联系起来，而余弦定理中涉及的是三角形中边与角的余弦之间的关系，下面运用平面向量的数量积推断余弦定理。
如图5，在△ABC中，CBAB ∵ACACCB）∴（AB·＝（ACCB·
22AC·＝cos(π－C）＋CB AC＋CB·
＝ b2－2ba·cosC＋a
2即：c2＝a2＋b2－2abcosC（※）
同理可得：a2＝b2＋c2－2bc·cosA
b2＝c2＋a2－2ca·cosB
CB夹角应通过平移注意推导（※）式时，AC与得到，即向量的起点重合，因此AC与CB的夹角应为
π－C而不是C，运用向量的数量积和和角的余弦定义，证明余弦定理，显得比较方便，但是由于学生对向量的工具性认识不足，CB＝＋AB运用不到位，导致在采用对三角形中最重要的一个恒等式向量法证明余弦定理时，不能一下子想到这个方法。
上面主要涉及到平面几何法、坐标法、向量法，以加深学生对平面
几何、解析几何以及有关平面向量知识的理解运用，这些方法学生应熟练掌握。
在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里，数学的现代发现也表明，全盘的形式化不是可能的，因此，高中数学课程应返璞归真，努力提高数学概念、法则、结论的发展过程和本质，数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自己探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。
参考文献：
1、《教学课程标准》
2、张敏，余弦定理：源于向量和基于向量，中学数学教学参考，2010.83、谭承敏，数学教学中如何暴露思维过程，高中数学教与学。2008.12
